Uygun olmayan bir kesrin integrali. En basit kesirlerin integrali. Doğru atış rasyonel fonksiyonunun entegrasyonu

Rasyonel fonksiyonun integralini almak için \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \) right ) ))\) ve \((Q\left(x \right))\) − polinomlar, adımların sırası belirlenir:

Damlama hatalıysa (\((P\left(x \right))\) adımı \((Q\left(x \right))\)) adımından daha büyükse), bunu doğru olanla değiştirin, ifadenin amacını görmek;

Banner'ı \((Q\left(x \right))\) daha fazla tek terimlilere ve/veya yavaş ikinci dereceden ifadelere yayın;

Rasyonel kesri en basit kesirlere ayırma, Viktorist ;

En basit kesirleri kullanarak integralleri hesaplayın.

Aşağıdaki rapora bir göz atalım.

Krok 1. Uygun olmayan bir rasyonel kesrin yeniden dönüştürülmesi

Terim düzensiz olduğundan (bu durumda \((P\left(x \right))\) sayı adımı \((Q\left(x \right))\)) işaret adımından daha büyüktür), zengin terim \ ((P\) sol ayrılabilir (x \sağ))\) üzerinde \((Q\left(x \right)).\) Saldırgan viraz reddedilebilir: \[\frac((P\left(x) \sağ))))((Q\left (x \sağ)))) = F\left(x \right) + \frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \ right))))),\] de \( \large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) doğru rasyonel kesirdir.

Çiğdem 2. En basit kesirleri kullanarak pankartı düzenlemek

Znamennik \((Q\left(x \right))\)'in zengin terimini \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \) biçiminde yazalım. right)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\ left(((x^2 ) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] de ikinci dereceden fonksiyonlar hızlı değildir, dolayısıyla aktif kökler yoktur.

Ders 3. Rasyonel kesirlerin en basit kesirlerin toplamından dağılımı.

Rasyonel fonksiyonu modern biçimde yazalım: \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((( \left (( x - a) \right))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))((((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) (( ((((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\left((x - b) \right)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1))))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L))))((((\ sol(((x^2) + px + q) \sağ))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\left(((x^2) ) + px + q) \right))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) (( ((\left(((x^2) + rx +) s) \right))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\ left( ((x^2) + rx + s) \right))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1))))(((x^2) + rx + s))).) \] Önemsiz katsayıların sayısı geçersizdir \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) banner'ın seviyesine ekleyebilir \((Q\left) (x \sağ))).\)

Daha sonra çekilenin rahatsız edici kısımlarını \((Q\left(x \right))\) banner'ına eşit olarak çarparız ve toplama katsayılarını aynı \(x.\) adımlarıyla eşitleriz. temel katsayılar olmadan doğrusal eşitler sistemi \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Bu sistem her zaman Tek karar olacaktır. Algoritmanın açıklamaları önemsiz katsayılar yöntemi .

Ders 4. En basitlerin entegrasyonu rasyonel kesirler.

Yeterince düzenli bir rasyonel kesirin açılımından ayrılan en basit kesirler, aşağıdaki altı formül kullanılarak entegre edilir: \ \ İkinci dereceden işaretli kesirler için, başlangıçta dış kareyi görmek gerekir: \[\int (\frac( (Ax + B))))(((( (\left(((x^2) + px + q) \right))^k))))dx) = \int (\frac((At + B") ))((((\left((( t^2) ) + (m^2)) \right))^k))))dt) ,\] de \(t = x + \large\frac(p) )(2)\normalsize,\) \( (m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Sonra aşağıdaki formüller takılıp kalır: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \sağ ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left((( t^2) + (m^2)) \sağ ))^( k - 1)))) ) \] \ İntegral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt))))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) ek yardım için \(k\) kroki ödeyebilirsiniz azaltma formülleri\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt) ) ((((\sol(((t^2) + (m^2)) \sağ))^(k - 1)))))) ) \]

“Bir matematikçi tıpkı bir sanatçı gibi şarkı söyler ve sanatsal yaratımlar yaratır. Ve bir matematikçinin görüşleri daha istikrarlı olduğu için, özellikle de fikirlerden oluştuğu için... Bir matematikçinin görüşleri de tıpkı bir sanatçının veya bir şairin görüşleri gibi güzel olmalı; Fikirler renklerle aynı ve suçluluk sözleri birer birer paylaşılıyor. Güzellik önce gelir: Dünyada çirkin matematiğe yer yok».

G.H.Hardy

İlk bölümde öncelikli amacın artık ifade edilemeyecek basit işlevlere ulaşmak olacağı varsayılmıştır. temel işlevler. Bununla bağlantılı olarak, birincil işlevlerinin temel işlevler olduğunu tam olarak söyleyebileceğimiz işlev sınıfları büyük pratik öneme sahiptir. Fonksiyonlar bu sınıfa ulaşır rasyonel fonksiyonlarİki cebirsel açıdan zengin terimin ilişkileri olan rasyonel kesirlerin integralini almadan önce zengin bir sıralama verin. Bu nedenle bu tür fonksiyonların entegre edilmesi çok önemlidir.

2.1.1. Kesirli rasyonel fonksiyonlar

Rasyonel kesir(veya atış rasyonel işlevi) iki cebirsel açıdan zengin terimin ilişkisi olarak adlandırılır:

nerede ben – zengin üyeler.

Ne oldu zengin üye (polinom, tamamen rasyonel bir fonksiyon) Naşama fonksiyon denir

de – aktif numaralar. Örneğin,

- ilk aşamanın zengin üyesi;

- dördüncü aşamanın zengin üyesi vb.

Rasyonel argüman (2.1.1) denir doğru Seviye, seviyeden düşükse, o zaman. N<M, başka bir durumda, damlama denir yanlış.

Herhangi bir düzensiz kesir, büyük bir kısım (tam kısım) ve normal bir kesir (kesirli kısım) şeklinde sunulabilir. Düzensiz bir atışta bütünün ve çekim parçalarının görülmesi “kesme” kısmı kuralına göre gerçekleştirilebilir.

Popo 2.1.1. Aşağıdaki düzensiz rasyonel kesirlerin tüm kesirlerine bakın:

A) , B) .

Karar . a) Vikorist'in algoritması bir "çarpmaya" bölünmüştür ve ortadan kaldırılabilir

Bu şekilde reddediyoruz

.

b) Burada ayrıca bir "çarpma"daki vikory algoritması var:

Sonuç olarak reddedebiliriz

.

Torbaları getirelim. Gerçek ifadedeki rasyonel kesrin önemsiz olmayan integrali, zengin terimin ve doğru rasyonel kesrin integrallerinin toplamı ile tespit edilebilir. İlk polinom türlerini bulmak zor olmaz. Bu nedenle uygun rasyonel kesirleri dikkate almak önemlidir.

2.1.2. En basit rasyonel kesirler ve bunların entegrasyonu

Düzenli rasyonel kesirler arasında aşağıdakilerle ilgili dört tür vardır: en basit (temel) rasyonel kesirlere göre:

3) ,

4) ,

de - tam sayı, , Daha sonra. ikinci dereceden üç terimli aktif kökleri yoktur.

1. ve 2. tipteki en basit kesirlerin entegrasyonu büyük zorluklar yaratmaz:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Şimdi 3. türdeki en basit kesirlerin integraline bakacağız ancak 4. türdeki kesirlere bakmayacağız.

İntegralleri aklımızda tutarak bitirelim

.

Bu integralin bannerda tam kare görülmesi şeklinde hesaplanmasına denir. Sonuç, aşağıdaki formun tablo halinde bir integralidir:

ya da başka .

Popo 2.1.2.İntegralleri bulun:

A) , B) .

Karar . a) Üç terimli kareden görülebilen yeni kare:

Yıldızları biliyoruz

b) Üç terimli kareden yeni kareyi gördükten sonra şunu çıkarabiliriz:

Böyle bir şekilde

.

İntegrali bulmak için

iki integralin toplamı için integralin işaretine ve bölümüne göre sayısal hesap makinesinde görülebilir: birincisi onların yerine konulmasıyla Hızlanmak

,

ve diğeri - bakılan şeye.

Popo 2.1.3.İntegralleri bulun:

.

Karar . Sevgili okul . Banner numarasında görünür:

İlk integral ek ikame kullanılarak hesaplanır :

Görünüşe göre diğer integralin işaretinde fazladan bir kare var

Kalanı kaldırabiliriz

2.1.3. Doğru rasyonel kesri düzenleme
en basit kesirlerin toplamı için

Doğru rasyonel argüman olun En basit kesirlerin toplamına bakılarak tek bir sıralamada görülebilmektedir. Bu amaçla banner çarpanlara bölünmelidir. Pek çok cebirden, derinin aktif katsayılar açısından zengin olduğu açıktır.

Entegrasyon uygulamaları incelendi rasyonel fonksiyonlar(Drobiv) raporlama kararları ile.

Zmist

Bölüm Ayrıca: Kare kök

Burada gelişmiş rasyonel kesirlerin entegrasyonuna ilişkin üç uygulamayı rapor ediyoruz:
, , .

popo 1

İntegrali hesaplayın:
.

Burada integralin işareti altında rasyonel bir fonksiyon vardır ve integral ifadesinin parçaları zengin terimlerden kesirlere bölünmüştür. Bannerın zengin üyesinin adımı ( 3 ) sayısal terimin derecesinden daha az ( 4 ). O küçüğün çekimin tamamını görmesi gerekiyor.

1. Çekimin tamamını görüyoruz. Dilimo x 4 x tarafından 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Zvidsi
.

2. Banner'ı birden çok parçaya böldük. Neden kübik hizalamayı çözmeniz gerekiyor:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Değiştirilebilir x = 1 :
.

1 . Dilimo x'e göre - 1 :

Zvidsi
.
Kare gibi görünüyor.
.
Kök Rivnyanya: , .
Todi
.

3. Olayları en basit şekilde özetleyelim.

.

Peki, biliyoruz:
.
Birleşik.

popo 2

İntegrali hesaplayın:
.

Burada sayı hesaplayıcının bir kesri vardır - sıfır dereceli zengin bir terim ( 1 =x0). Sancaktarın üçüncü dereceden zengin bir üyesi var. Oskolki 0 < 3 , o zaman damlama doğrudur. Bunu en basit kesirlere ayıralım.

1. Banner'ı birden fazla parçaya böldük. Üçüncü aşamanın seviyesini belirlemek kimin için gereklidir:
.
Sadece kökün tamamını isteyen birinin olması kabul edilebilir. Bu aynı zamanda sayının tarihidir 3 (x'siz üye). O zaman kökün tamamı sayılardan biri olabilir:
1, 3, -1, -3 .
Değiştirilebilir x = 1 :
.

Bir kök x = biliyorduk 1 . Dilimo x 3 + 2 x - 3 x'te - 1 :

Otje,
.

Tamamen eşit görünüyor:
X 2+x+3=0.
Bilinen diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskolki D< 0 , o zaman raventin aktif kökleri yoktur. Bu şekilde banner'ı çarpanlara ayırdık:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Değiştirilebilir x = 1 . Todix- 1 = 0 ,
.

Değiştirilebilir (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Eşittir (2.1) x'teki katsayılar 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Birleşik.
(2.2) .
Başka bir integrali hesaplamak için, görünüşe göre sayısal hesap makinesinde işareti karelerin toplamına kaydırıyoruz.

;
;
.

Hesaplanabilir I 2 .


.
Rivnyanya'nın kalıntıları x 2+x+3=0 aktif köklere sahip değilse x 2 + x + 3 > 0. Bu nedenle modül işareti atlanabilir.

Teslim tarihi (2.2) :
.

popo 3

İntegrali hesaplayın:
.

Burada integralin işareti altında birkaç farklı terim vardır. Bu nedenle integral ifadesinin rasyonel bir fonksiyonu vardır. Sayılardaki bir polinomun düzeyi eskidir 3 . Gösteren polinomunun aşaması kesire benzer 4 . Oskolki 3 < 4 , o zaman damlama doğrudur. Bu nedenle basit kesirlere ayrılabilirler. Bunun için banner'ı çarpanlara bölmek gerekir.

1. Banner'ı birden çok parçaya böldük. Dördüncü aşamanın seviyesini belirlemek kimin için gereklidir:
.
Sadece kökün tamamını isteyen birinin olması kabul edilebilir. Bu aynı zamanda sayının tarihidir 2 (x'siz üye). O zaman kökün tamamı sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2 .
Değiştirilebilir x = -1 :
.

Bir kök x = biliyorduk -1 . Dilimo x'e göre - (-1) = x + 1:


Otje,
.

Şimdi üçüncü aşamanın seviyesini belirlemeniz gerekiyor:
.
Kökün tamamının sayının kökü ve kökü olduğunu varsayalım. 2 (x'siz üye). O zaman kökün tamamı sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2 .
Değiştirilebilir x = -1 :
.

Ah canım, başka bir kök bulduk x = -1 . İlk adımda olduğu gibi terimi şu şekilde bölmek ve ardından terimleri gruplandırmak mümkün olacaktır:
.

Rivnyanya'nın kalıntıları x 2 + 2 = 0 aktif kök yok, ardından banner'ın düzenini çarpanlara ayırdık:
.

2. Olayları en basit şekilde özetleyelim. Önünüze serilmiş gibi görünüyor:
.
Banner'a bir kesir şununla çarpılarak eklenir: (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Değiştirilebilir x = -1 . Todix + 1 = 0 ,
.

Farklılaşma (3.1) :

;

.
Değiştirilebilir x = -1 Gerçekten umuyorum ki x + 1 = 0 :
;
; .

Değiştirilebilir (3.1) x = 0 :
0 = 2 Bir + 2 B + D;
.

Eşittir (3.1) x'teki katsayılar 3 :
;
1 =B+C;
.

En basit kesirleri nasıl parçalayacağımızı biliyorduk:
.

3. Birleşik.


.

Bölüm Ayrıca:

Yukarıdaki noktaların tümü, rasyonel bir kesirin entegrasyonu için temel kuralları formüle etmemize izin verir.

1. Rasyonel kesir yanlışsa, zengin üye ve doğru rasyonel kesir (bölüm 2) şeklinde sunulur.

Burada yanlış rasyonel kesirin entegrasyonu, zengin terimin ve doğru rasyonel kesrin entegrasyonuna yol açar.

2. Normal kesir bannerını çarpanlara yerleştirin.

3. Doğru rasyonel kesir, en basit kesirlerin toplamına bölünür. Burada doğru rasyonel kesirin entegrasyonu, en basit kesirlerin entegrasyonuna indirgenir.

Hadi bir bakalım.

Örnek 1. Bilin.

Karar. İntegralin altında yanlış bir rasyonel kesir var. Parçanın tamamını görünce onu alıyoruz

Otje,

Lütfen doğru rasyonel argümanın ortaya konulabileceğini unutmayın.

en basit kesirler için:

(Böl. formül (18)). Tom

Bu şekilde hala mümkün

Popo 2. Bil

Karar. İntegralin altında doğru bir rasyonel argüman vardır.

Bunları en basit kesirlere genişleterek (harika formül (16)) ortadan kaldırabiliriz

Bu konunun içerdiği materyal, "Rasyonel kesirler. Rasyonel kesirlerin temel (en basit) kesirlere ayrıştırılması" konusunda sunulan elektronik tabloda yer almaktadır. Bu materyali okumaya geçmeden önce bu konuyu gerçekten hızlı bir şekilde gözden geçirmek istiyorum. Ayrıca değerli olmayan integrallerin bir tablosuna ihtiyacımız olacak.

Aklıma bir sürü terim geliyor. Ayrı bir başlıkta onlarla ilgili bir tartışma vardı, o yüzden burada kısa bir açıklama paylaşacağım.

İki terimin $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ilişkisine rasyonel fonksiyon veya rasyonel kesir denir. Rasyonel argümana denir doğru yakscho $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется yanlış.

Temel (en basit) rasyonel kesirler dört türden rasyonel kesirlerdir:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Not (metnin daha iyi anlaşılması için): göster

İhtiyaç duyulan şey beyin gücüdür $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Örneğin, $x^2+5x+10$ rotasyonu için şunu ortadan kaldırabiliriz: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Parçalar $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Konuşmadan önce, doğrulama amacıyla bu hiç de zor değil, dolayısıyla $x^2$ öncesindeki oranlar 1 ekler. Örneğin, $5x^2+7x-3=0$ için reddedilir: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 dolar. $D > 0$ ise $5x^2+7x-3$ ifadesi çarpanlara ayrıştırılabilir.

Rasyonel kesirlerin (düzenli ve düzensiz) kullanımı ve ayrıca rasyonel kesirlerin kullanımı temel düzeyde öğrenilebilir. Burada onların entegrasyonunun beslenmesinden mahrum kalıyoruz. Temel kesirlerin entegrasyonuyla bitirelim. Ayrıca, aşağıda gösterilen vikoristik formüllerle çeşitli deri türlerinden temel kesirlerin anlamlarını entegre etmek zordur. (2) ve (4) tipindeki entegre kesirlerden $n=2,3,4,ldots$ aktarıldığını tahmin edeyim. Formüller (3) ve (4) vimagayut vikonannya umovi $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(denklem)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ için $t=x+\frac(p)(2)$ ile değiştirin, sildikten sonra aralık ikiye bölünür . Birincisi diferansiyel işareti altındaki ek giriş için hesaplanır ve diğeri $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ şeklinde görünür. Bu integral yinelenen ilişkinin yardımıyla alınır.

\begin(denklem) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(denklem)

Böyle bir integralin hesaplanması Ek No. 7'de (üçüncü bölüm) gösterilmektedir.

Rasyonel fonksiyonlardan (rasyonel kesirler) integralleri hesaplama şeması:

1. İntegral ilkesi temel olduğundan, (1)-(4) formüllerini formüle edin.
2. İntegral kesir temel olmadığından, onu temel kesirlerin toplamına ekleyin ve ardından aşağıdaki (1)-(4) formüllerini entegre edin.

Genel olarak, rasyonel kesirlerin integralini almaya yönelik algoritma tutarlı bir geçerliliğe sahip olabilir; evrenseldir. Tobto. bu algoritmayı kullanarak entegre etmek mümkündür be-yaku mantıklı arkadaşım. Değerlendirilmemiş bir integraldeki tüm değişikliklerin (Euler, Chebishev ikameleri, evrensel trigonometrik ikameler) böyle bir yapı ile gerçekleştirilmesi ve böylece ikame sonrasında integralin altında rasyonel bir kesirin çıkarılması da mümkündür. Ve bundan önce algoritma zaten durağanlaştı. Bu algoritmayı önce küçük bir not alarak doğrudan uçlar üzerinde analiz edeceğiz.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Prensip olarak, formülü mekanik olarak formüle etmeden bu integrali çıkarmak zordur. $7$ sabitini integral işaretine eklersek ve $dx=d(x+9)$ şeklinde yazarsak, iptal edebiliriz:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Detaylı bilgi için konuyu izlemenizi tavsiye ederim. Orada bu tür integrallerin nasıl hesaplandığı açıkça anlatılıyor. Konuşmadan önce, formül, tamamlanma sırasında bu noktada "elle" bir araya getirilen dönüşümlerin aynılarıyla çevrilir.

2) İki yol olduğunu biliyorum: ya hazır formülü dondurun ya da onsuz yapın. Formülü formüle ettikten sonra $x$ (4 numara) öncesindeki katsayının ne olacağını bulun. Bu nedenle dörtlünün kollarından bahsetmeye değer:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\sol(x+\frac(19)(4)\sağ)^8). $$

Artık formülü oluşturmanın zamanı geldi:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Formülle idare edebilirsiniz. І vineshenny olmadan navіt silahlar için sabit 4$$. Eğer $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ olduğuna inanıyorsanız, o zaman şunu reddedebiliriz:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Bu tür integrallerin nasıl bulunacağına ilişkin ayrıntılı açıklamalar “İkame yoluyla integral (diferansiyel işaret altında sunulmuştur)” başlığında verilmiştir.

3) $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ kesirinin integralini almamız gerekiyor. Bu kesir $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ yapısına sahiptir, burada $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Bununla birlikte, üçüncü türün en etkili temel kabilesinin ne olduğunu bulmak için Viconnian zihnini kontrol etmeniz gerekir: $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Bu aynı popo, ancak hazır bir formül kullanılmadan. Sayıdaki bayrak taşıyıcısını görmeye çalışalım. Bu ne anlama gelir? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ olduğunu biliyoruz. $2x+10$ ifadesini sayısal operatörde ifade etmemiz gerekiyor. Şimdilik sayısal operatör yalnızca $4x+7$'ın intikamını alabilir, aksi takdirde gerekli değildir. Sayıları hesaplayana kadar bu bir yeniden yaratma meselesidir:

$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$

Artık sayı hesaplayıcının yeni bir gereksinimi var: $2x+10$. İntegralimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

İntegrali ikiye bölüyoruz. Açıkçası kendisi de aynı şeyi "iki şekilde" entegre etti:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \sağ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

O halde ilk integrali tamamlama hakkında konuşalım. yaklaşık $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ parçaları, o zaman integral kesirin sayısal denkleminde, başlığın diferansiyeli şu şekildedir: Kısaca, görünüşe göre viraza $( 2x +10)dx$ yerine $d(x^2+10x+34)$ yazılabilir.

Şimdi başka bir integral hakkında birkaç söz söyleyelim. Banner'da yeni kareyi görebilirsiniz: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Ayrıca değer $dx=d(x+5)$ olur. Şimdi, daha önce kaldırdığımız integrallerin toplamı tamamen farklı bir biçimde yeniden yazılabilir:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$

İlk integralde $u=x^2+10x+34$ yerine koyma yaparsak $\int\frac(du)(u)$ ifadesini görürüz ve ile başka bir formül kullanmak kolay olur. Diğer integrale gelince, yeni integral için $u=x+5$ ifadesini kullanırız, ardından $\int\frac(du)(u^2+9)$ ifadesini görürüz. Bu, önemsiz integraller tablosunu içeren on birinci formül olan saf sudur. İntegrallerin toplamına dönersek şunu söyleyelim:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$

Durağan formülle bile aynı kanıtları reddettik, sonuçta bu şaşırtıcı değil. Yani formül, integrali bulmak için kullandığımız yöntemlerle aynı şekilde geliştirildi. Saygın bir okuyucunun burada bir öğün yemek yiyebilmesine saygı duyuyorum, bu yüzden şunu formüle edeceğim:

Yemek №1

$\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ integrali değerli olmayan integraller tablosuna başka bir formül koyarsa, onu şu şekilde kaldırabiliriz:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Çözümün neden günlük bir modülü var?

Geribildirim No.1

Diyet tamamen doğaldır. Sıfırdan büyük herhangi bir $x\in R$ için modül $x^2+10x+34$ değerinden büyüktür. Kaç tane yol olduğunu göstermek hiç de zor değil. Örneğin, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ve $(x+5)^2 ≥ 0$ parçaları, ardından $(x+5)^2+9 > 0 $ . Tam kareyi görmeden farklı yargıda bulunabilirsiniz. Kıymıklar $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >Herhangi bir $x\in R$ için 0$ (bu mantıklı küçük adamın söylediği gibi, Raja kare düzensizliklerini çözmenin grafiksel yöntemine hayran kalacak). Dış görünümde $x^2+10x+34 > 0$ parçaları varsa, o zaman $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$ olur. Modül yerine ana kollar değiştirilebilir.

1 numaralı popoya ilişkin tüm noktalar doğrulandı ve artık bir onay yazamıyorum.

Vіdpovid:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

Popo No.2

$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integralini bulun.

O halde, ilk bakışta pedintegral top sürme $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ üçüncü türdeki temel top sürmeye çok benzer. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ile. Aynı farkın, $x^2$'dan önceki $3$ katsayısı olduğu ve katsayının dezavantaja eşit olduğu (silahlar için, ödeme) ortaya çıktı. Ancak bir benzerlik var. Kesir için $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ obov'yazkova є umova $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$ öncesindeki katsayımız bire eşit değil, bu yüzden aklınızı kontrol edin $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$ ise Viraz $3x^2-5x-2$ çarpanlara bölünebilir. Ve bu, $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ kesirinin üçüncü türden bir temel kesir olmadığı, ancak $\int\frac(7x+12) integraline indirgendiği anlamına gelir (3x^2- 5x-2)dx$ formülü mümkün değildir.

Rasyonel kesirlerin problemleri temel olmadığından, bunları temel kesirlerin toplamları olarak sunmak ve sonra entegre etmek gerekir. Kısacası, görünüşe göre pist hızlı. Rasyonel bir argümanın temel argümanlara nasıl bölüneceği açıkça yazılmıştır. Banner'ın çarpanlara bölünmüş olmasına bir göz atalım:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(hizalanmış)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotleft(x+frac(1)(3)sağ)(x-2). $$

Dahili damlama şu şekilde temsil edilebilir:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Şimdi $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ kesrini temel parçalara ayıralım:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ ) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1) ( 3)\sağ). $$

$A$ ve $B$ katsayılarını bulmak için iki standart yöntem vardır: önemsiz katsayılar yöntemi ve özel değerleri değiştirme yöntemi. Aşağıda, $x=2$ ve ardından $x=-\frac(1)(3)$ tanıtılarak özel değerleri değiştirmenin basit bir yöntemi verilmiştir:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\sağ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Katsayının parçaları bulundu, hazır düzeni yazmak artık mümkün değildi:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$

Prensipte böyle bir kaydı silebilirsiniz ancak gönlünüze göre daha düzgün bir seçenek vardır:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$

Çıkış integraline dönersek, genişlemeyi yeni bir sonuca sunuyoruz. Daha sonra integrali ikiye katlıyoruz ve deri formülde durgunlaşana kadar. Sabitleri hemen integral işaretinin arkasına koyacağım:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vіdpovid: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + kesir (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.

Stok No.3

$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integralini bulun.

$\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ kesirini entegre etmemiz gerekiyor. Roztashovani'nin numara yöneticisinin başka bir seviyeden zengin bir üyesi var ve znamennik'in üçüncü seviyeden zengin bir üyesi var. O halde sayı kitabındaki polinomun adımlarının parçaları işaret kitabındaki polinomun adımlarından daha küçüktür. 2 dolar< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Artık integralin görevlerini üçe bölmemize ve formülü tamamen durgunlaştırmamıza gerek kalmayacak. Sabitleri hemen integral işaretinin arkasına koyacağım:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$

Vіdpovid: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Başvuruların analizinin devamı başka bir bölümde özetlenmiştir.