Тригонометричне коло з усіма значеннями тангенсів. Визначення та знаки синуса, косинуса, тангенсу кута. Вимірюються кути в радіанах

Координати xлежачих на колі точок рівні cos(θ), а координати yвідповідають sin(θ), де θ - величина кута.

• Якщо вам складно запам'ятати це правило, просто пам'ятайте, що в парі (cos; sin) синус стоїть на останньому місці.
• Це правило можна вивести, якщо розглянути прямокутні трикутники та визначення даних тригонометричних функцій (синус кута дорівнює відношенню довжини протилежного, а косинус - катета, що прилягає до гіпотенузи).

Запишіть координати чотирьох точок на колі."Одиничний коло" - це таке коло, радіус якого дорівнює одиниці. Використовуйте це, щоб визначити координати xі yу чотирьох точках перетину координатних осей з колом. Вище ми позначили ці точки для наочності "сходом", "північком", "заходом" і "півднем", хоча вони не мають усталених назв.

• "Схід" відповідає точці з координатами (1; 0) .
• "Північ" відповідає точці з координатами (0; 1) .
• "Захід" відповідає точці з координатами (-1; 0) .
• "Південь" відповідає точці з координатами (0; -1) .
• Це аналогічно звичайному графіку, тому немає потреби запам'ятовувати ці значення, досить пам'ятати основний принцип.

Запам'ятайте координати точок у першому квадранті.Перший квадрант розташований у верхній правій частині кола, де координати xі yнабувають позитивних значень. Це єдині координати, які потрібно запам'ятати:

Проведіть прямі лінії та визначте координати точок їх перетину з колом.Якщо ви проведете від точок одного квадранта прямі горизонтальні та вертикальні лінії, другі точки перетину цих ліній з колом матимуть координати xі yз тими самими абсолютними значеннями, але іншими знаками. Іншими словами, можна провести горизонтальні та вертикальні лінії від точок першого квадранта та підписати точки перетину з колом тими ж координатами, але при цьому залишити зліва місце для правильного знака ("+" або "-").

Для визначення символу координат використовуйте правила симетрії.Існує кілька способів визначити, де слід поставити знак "-":

• Згадайте основні правила для звичайних графіків. Ось xнегативна ліворуч і позитивна справа. Ось yнегативна знизу та позитивна зверху;
• почніть з першого квадранта і проведіть лінії до інших точок. Якщо лінія перетне вісь yкоордината xзмінить свій знак. Якщо лінія перетне вісь x, зміниться знак у координати y;
• запам'ятайте, що в першому квадранті позитивні всі функції, у другому квадранті позитивний тільки синус, у третьому квадранті позитивний лише тангенс, і в четвертому квадранті позитивний тільки косинус;
• який би метод ви не використовували, у першому квадранті має вийти (+,+), у другому (-,+), у третьому (-,-) та у четвертому (+,-).

Перевірте, чи ви не помилилися.Нижче наведено повний список координат "особливих" точок (крім чотирьох точок на координатних осях), якщо рухатися по одиничному колу проти годинникової стрілки. Пам'ятайте, що для визначення всіх цих значень достатньо запам'ятати координати точок лише в першому квадранті:

• перший квадрант: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
• другий квадрант: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
• третій квадрант: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
• четвертий квадрант: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Різноманітні. Деякі їх - у тому, у яких чвертях косинус позитивний і негативний, у яких чвертях синус позитивний і негативний. Все виявляється просто, якщо знаєш, як обчислити значення даних функцій у різних кутах і знайомий із принципом побудови функцій на графіку.

Які значення косинуса

Якщо розглядати, то ми маємо наступне співвідношення сторін, яке його визначає: косинусом кута ає відношення прилеглого катета ВС до гіпотенузи АВ (рис. 1): cos a= НД/АВ.

За допомогою цього трикутника можна знайти синус кута, тангенс і котангенс. Синусом буде співвідношення протилежного до кута катета АС до гіпотенузи АВ. Тангенс кута знаходиться, якщо синус шуканого кута розділити на косинус того самого кута; підставивши відповідні формули знаходження синуса та косинуса, отримаємо, що tg a= АС/ВС. Котангенс, як зворотна до тангенсу функція, буде так: ctg a= НД/АС.

Тобто при однакових значеннях кута виявилося, що у прямокутному трикутнику співвідношення сторін завжди однакове. Здавалося б, зрозуміли, звідки ці значення, але чому виходять негативні числа?

Для цього потрібно розглядати трикутник в системі декартової координат, де присутні як позитивні, так і негативні значення.

Наочно про чверть, де яка

Що таке декартові координати? Якщо говорити про двовимірний простір, ми маємо дві спрямовані прямі, які перетинаються в точці О – це вісь абсцис (Ох) та вісь ординат (Оу). Від точки Про напрямі розташовуються позитивні числа, а зворотний бік - негативні. Від цього, зрештою, безпосередньо залежить, у яких чвертях косинус позитивний, а яких, відповідно, негативний.

Перша чверть

Якщо розмістити прямокутний трикутник у першій чверті (від 0 до 90 про), де вісь х і у мають позитивні значення (відрізки АТ і ВО лежать на осях там, де значення мають знак "+"), то що синус, що косинус теж матимуть позитивні значення, і їм надано значення зі знаком «плюс». Але що відбувається, якщо перемістити трикутник у другу чверть (від 90 до 180 о)?

Друга чверть

Бачимо, що по осі у катет АТ набув негативного значення. Косинус кута aтепер має у відсотковому співвідношенні цю бік з мінусом, тому й підсумкове його значення стає негативним. Виходить, що те, в якій чверті позитивний косинус, залежить від розміщення трикутника в системі декартових координат. І в цьому випадку косинус кута набуває негативного значення. А ось для синуса нічого не змінилося, адже для визначення його знака потрібна сторона ВВ, яка залишилася в даному випадку зі знаком плюс. Підіб'ємо підсумок за першими двома чвертями.

Щоб з'ясувати, у яких чвертях косинус позитивний, а яких негативний (і навіть синус та інші тригонометричні функції), необхідно дивитися те що, який знак присвоєний тому чи іншому катету. Для косинуса кута aважливий катет АТ, для синусу - ОВ.

Перша чверть поки що стала єдиною, що відповідає питанням: «У яких чвертях синус і косинус позитивний одночасно?». Подивимося далі, чи ще збіги за знаком цих двох функцій.

У другій чверті катет АТ став мати негативне значення, отже, і косинус став негативним. Для синусу збережено позитивне значення.

Третя чверть

Тепер обидва катета АТ та ВВ стали негативними. Згадаймо співвідношення для косинуса та синуса:

Cos a = АТ/АВ;

Sin a = ВО/АВ.

АВ завжди має позитивний знак у цій системі координат, тому що не спрямована в жодну з двох визначених осями сторін. А ось катети стали негативними, а значить і результат для обох функцій теж негативний, адже якщо робити операції множення або поділу з числами, серед яких одне і одне має знак «мінус», то результат теж буде з цим знаком.

Підсумок на цьому етапі:

1) У якій чверті косинус позитивний? У першій із трьох.

2) У якій чверті синус позитивний? У першій та другій з трьох.

Четверта чверть (від 270 о до 360 о)

Тут катет АТ знову набуває знак "плюс", а значить і косинус теж.

Для синуса справи все ще «негативні», адже катет ВВ залишився нижчим від початкової точки О.

Висновки

Для того щоб розуміти, в яких чвертях косинус позитивний, негативний і т.д., потрібно запам'ятати співвідношення для обчислення косинуса: катет, що прилягає до кута, поділений на гіпотенузу. Деякі вчителі пропонують запам'ятати так: к(осинус) = (к) кутку. Якщо запам'ятати цей «чит», то автоматично розумієш, що синус – це ставлення протилежного до кута катета до гіпотенузи.

Запам'ятати, у яких чвертях косинус позитивний, а яких негативний, досить складно. Тригонометричних функцій багато, і всі вони мають свої значення. Але все-таки, як наслідок: позитивні значення для синуса - 1, 2 чверті (від 0 до 180 про); для косинуса 1, 4 чверті (від 0 до 90 про і від 270 про до 360 про). У решті чвертей функції мають значення з мінусом.

Можливо, комусь буде легше запам'ятати, де якийсь знак, за зображенням функції.

Для синуса видно, що з нуля до 180 про гребінь перебуває над лінією значень sin(x), отже, і функція тут позитивна. Для косинуса так само: у якій чверті косинус позитивний (фото 7), а який негативний видно по переміщенню лінії над і під віссю cos(x). Як наслідок, ми можемо запам'ятати два способи визначення знака функцій синус, косинус:

1. За уявним колом з радіусом рівним одиниці (хоча, насправді, не важливо, який радіус у кола, але в підручниках найчастіше наводять саме такий приклад; це полегшує сприйняття, але в той же час, якщо не обмовитися, що це не має значення, діти можуть заплутатися).

2. По зображенню залежності функції (х) від самого аргументу х, як на останньому малюнку.

За допомогою першого способу можна ЗРОЗУМІТИ, від чого залежить знак, і ми докладно роз'яснили це вище. Малюнок 7, побудований за цими даними, якнайкраще візуалізує отриману функцію та її знакопринадлежність.

Дозволяють встановити низку характерних результатів – властивостей синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. У цій статті ми розглянемо три основні властивості. Перше вказує знаки синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута α залежно від цього, кутом якої координатної чверті є α . Далі ми розглянемо властивість періодичності, що встановлює незмінність значень синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу кута при зміні цього кута на ціле число оборотів. Третя властивість виражає залежність між значеннями синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу протилежних кутів α і −α .

Якщо Вас цікавлять властивості функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса, їх можна вивчити у відповідному розділі статті .

Навігація на сторінці.

Знаки синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу по чвертях

Нижче в цьому пункті зустрічатиметься фраза «кут I, II, III і IV координатної чверті». Пояснимо, що це за кути.

Візьмемо одиничну коло , відзначимо на ній початкову точку А(1, 0) , і повернемо її навколо точки O на кут α, при цьому вважатимемо, що ми потрапимо до точки A 1 (x, y) .

Кажуть що кут α є кутом I, II, III, IV координатної чвертіякщо точка А 1 лежить в I, II, III, IV чверті відповідно; якщо ж кут такий, що точка A 1 лежить на будь-якій з координатних прямих Ox або Oy , то цей кут не належить жодній з чотирьох чвертей.

Для наочності наведемо графічну ілюстрацію. На кресленнях нижче зображені кути повороту 30, -210, 585 і -45 градусів, які є кутами I, II, III і IV координатних чвертей відповідно.

Кути 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …градусів не належать жодній з координатних чвертей.

Тепер розберемося, які знаки мають значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута повороту α залежно від того, кутом якої чверті є α .

Для синуса та косинуса це зробити просто.

За визначенням синус кута - це ордината точки А 1 . Вочевидь, що у І і ІІ координатних чвертях вона позитивна, а III і IV чвертях – негативна. Таким чином, синус кута α має знак плюс у I та II чвертях, а знак мінус – у III та VI чвертях.

У свою чергу косинус кута α - це абсцис точки A 1 . У І та IV чвертях вона позитивна, а у ІІ та ІІІ чвертях – негативна. Отже, значення косинуса кута α у І та IV чвертях позитивні, а у II та III чвертях – негативні.

Щоб визначити знаки по чвертях тангенсу та котангенсу, потрібно згадати їх визначення: тангенс – це відношення ординати точки A 1 до абсциси, а котангенс – відношення абсциси точки A 1 до ординати. Тоді з правил розподілу чиселз однаковими та різними знаками слід, що тангенс і котангенс мають знак плюс, коли знаки абсциси та ординати точки A 1 однакові, і мають знак мінус – коли знаки абсциси та ординати точки A 1 різні. Отже, тангенс і котангенс кута мають знак + у І та ІІІ координатних чвертях, і знак мінус – у ІІ та ІV чвертях.

Дійсно, наприклад, у першій чверті і абсцису x, і ордината y точки A 1 позитивні, тоді і приватне x/y, і приватне y/x - позитивно, отже, тангенс і котанген мають знаки + . А в другій чверті абсцису x – негативна, а ордината y – позитивна, тому і x/y та y/x – негативні, звідки тангенс і котангенс мають знак мінус.

Переходимо до наступної властивості синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Властивість періодичності

Зараз ми розберемо, мабуть, найбільш очевидну властивість синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута. Воно полягає в наступному: при зміні кута на ціле число повних обертів значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу цього кута не змінюються.

Це і зрозуміло: при зміні кута на ціле число обертів ми з початкової точки А завжди потраплятимемо в точку А 1 на одиничному колі, отже значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса залишаються незмінними, оскільки незмінні координати точки A 1 .

За допомогою формул аналізовану властивість синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу можна записати так: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tg(α+2·π· z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , де α - кут повороту в радіанах, z - будь-яке , абсолютна величина якого вказує кількість повних оборотів, на які змінюється кут α , а знак числа z вказує напрямок повороту.

Якщо ж кут повороту α заданий у градусах, то зазначені формули перепишуться у вигляді sin(α+360°z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα , ctg(α+360°z)=ctgα .

Наведемо приклади використання цієї якості. Наприклад, , так як , а . Ось ще приклад: або .

Ця властивість разом із формулами приведення дуже часто використовується при обчисленні значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу «великих» кутів.

Розглянуту властивість синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу іноді називають властивістю періодичності.

Властивості синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів

Нехай А 1 – точка, отримана внаслідок повороту початкової точки А(1, 0) навколо точки O на кут α, а точка А 2 – це результат повороту точки А на кут −α протилежний куту α .

Властивість синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів протилежних кутів базується на досить очевидному факті: згадані вище точки А 1 і А 2 або збігаються (при ), або розташовуються симетрично щодо осі Ox . Тобто, якщо точка A 1 має координати (x, y) то точка А 2 матиме координати (x, −y) . Звідси за визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу записуємо рівності та .
Зіставляючи їх, приходимо до співвідношень між синусами, косинусами, тангенсами та котангенсами протилежних кутів α і −α виду .
Це і розглядається властивість у вигляді формул.

Наведемо приклади використання цієї якості. Наприклад, справедливі рівності та .

Залишається лише помітити, що властивість синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів протилежних кутів, як і попередня властивість, часто використовується при обчисленні значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, і дозволяє повністю уникнути негативних кутів.

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Минулого уроку ми з вами успішно освоїли (або повторили – кому як) ключові поняття всієї тригонометрії. Це тригонометричне коло , кут на колі , синус та косинус цього кута , а також освоїли знаки тригонометричних функцій за чвертями . Освоїли докладно. На пальцях можна сказати.

Але цього поки що мало. Для успішного практичного застосування всіх цих простих понять нам потрібна ще одна корисна навичка. А саме – правильна робота з кутами у тригонометрії. Без цього вміння у тригонометрії – ніяк. Навіть у найпримітивніших прикладах. Чому? Та тому, що кут – ключова фігура, що діє, у всій тригонометрії! Ні, не тригонометричні функції, не синус з косинусом, не тангенс з котангенсом, а саме сам кут. Немає кута – немає і тригонометричних функцій, так…

Як правильно працювати з кутами на колі? Для цього нам треба залізно засвоїти два пункти.

1) Яквідраховуються кути на колі?

2) У чомувони вважаються (вимірюються)?

Відповідь перше запитання – і є тема сьогоднішнього уроку. З першим питанням ми детально розберемося тут і зараз. Відповіді на друге питання тут не дам. Бо він досить розгорнутий. Як і саме друге питання дуже слизьке, так.) Вдаватися в подробиці поки не буду. Це тема наступного окремого уроку.

Почнемо?

Як відраховуються кути на колі? Позитивні та негативні кути.

У тих, хто прочитав назву параграфа, можливо, вже волосся стало дибки. Як так?! Негативні кути? Хіба таке взагалі можливе?

До негативних числамми з вами вже звикли. На числовій осі їх зображати вміємо: праворуч від нуля позитивні, ліворуч від нуля негативні. Та й на градусник за вікном поглядаємо періодично. Особливо взимку, на мороз.) І грошики на телефоні в "мінус" (тобто. борг) іноді йдуть. Це все знайоме.

А що ж із кутами? Виявляється, негативні кути в математиці теж бувають!Все залежить від того, як відраховувати цей самий кут ... ні, не на числовий прямий, а на числовому колі! Тобто на колі. Коло - ось він, аналог числової прямої в тригонометрії!

Отже, як же відраховуються кути на колі?Нічого не вдієш, доведеться нам для початку це саме коло намалювати.

Я намалюю ось таку гарну картинку:

Вона дуже схожа на картинки минулого уроку. Є осі, є коло, є кут. Але є й нова інформація.

Також я додав циферки 0, 90, 180, 270 і 360 на осях. Ось це вже цікавіше.) Що це за циферки? Правильно! Це значення кутів, відраховані від нашої нерухомої сторони, які потрапляють на координатні осі.Згадуємо, що нерухома сторона кута у нас завжди міцно прив'язана до позитивної півосі ОХ. І будь-який кут у тригонометрії відраховується саме від цієї півосі. Це базове початок відліку кутів треба пам'ятати залізно. А осі - вони ж під прямим кутом перетинаються, правда? Ось і додаємо по 90 ° у кожній чверті.

І ще додана Червона стрілочка. Із плюсом. Червона – це спеціально, щоб у вічі впадала. І на згадку добре врізалася. Бо це треба запам'ятати надійно.) Що означає ця стрілочка?

Так от виявляється, якщо наш кут ми будемо крутити по стрілочці з плюсом(проти годинникової стрілки, по ходу нумерації чвертей), то кут буде вважатися позитивним!Як приклад на малюнку показаний кут +45 °. До речі, зверніть увагу, що осьові кути 0, 90, 180, 270 і 360 також відмотані саме в плюс! За червоною стрілочкою.

А тепер подивимося на іншу картинку:

Тут майже все те саме. Тільки кути на осях пронумеровані у зворотний бік.За годинниковою стрілкою. І мають знак "мінус".) Ще намальована синя стрілочка. Також із мінусом. Ця стрілочка - напрямок негативного відліку кутів на колі. Вона нам показує, що якщо ми відкладатимемо наш кут по ходу годинникової стрілки, то кут вважатиметься негативним.Наприклад я показав кут -45°.

До речі, прошу зауважити, що нумерація чвертей ніколи не змінюється! Неважливо, в плюс чи мінус ми мотаємо кути. Завжди суворо проти годинникової стрілки.)

Запам'ятовуємо:

1. Початок відліку кутів – від позитивної півосі ОХ. Щогодини – "мінус", проти годинника – "плюс".

2. Нумерація чвертей завжди проти годинникової стрілки незалежно від напрямку обчислення кутів.

До речі, підписувати кути на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, щоразу малюючи коло – зовсім не обов'язкове. Це для розуміння суті зроблено. Але ці циферки обов'язково повинні бути присутніми у вашій головіпри розв'язанні будь-якої задачі з тригонометрії. Чому? Та тому, що ці елементарні знання дають відповіді на багато інших питань у всій тригонометрії! Найголовніше питання – в яку чверть потрапляє кут, що нас цікавить? Хочете вірте, хочете ні, але правильна відповідь на це питання вирішує левову частку решти всіх проблем з тригонометрією. Цим важливим заняттям (розподілом кутів по чвертях) ми займемося в цьому ж уроці, але пізніше.

Величини кутів, що лежать на осях координат (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° і 360 °), треба запам'ятати! Запам'ятати міцно, до автоматизму. Причому як плюс, так і мінус.

А ось із цього моменту починаються перші сюрпризи. І разом із ними і каверзні питання на мою адресу, так...) А що буде, якщо негативний кут на колі збігається з позитивним?Виходить, що одну й ту саму точкуна колі можна позначити як позитивним кутом, і негативним???

Абсолютно вірно! Так і є.) Наприклад, позитивний кут +270 ° займає на колі те саме положення що негативний кут -90°. Або, наприклад, позитивний кут +45 ° на колі займе те саме положення що негативний кут -315°.

Дивимося на черговий малюнок і все бачимо:

Так само позитивний кут +150 ° потрапить туди ж, куди і негативний кут -210 °, позитивний кут +230 ° - туди ж, куди і негативний кут -130 °. І так далі…

І що тепер робити? Як саме рахувати кути, якщо можна і так і сяк? Як правильно?

Відповідь: по-різному правильно!Жоден із двох напрямів відліку кутів математика не забороняє. А вибір конкретного напряму залежить лише від завдання. Якщо у завданні нічого не сказано прямим текстом про знак кута (типу "визначте найбільший негативнийкут"і т.п.), то працюємо з найбільш зручними нам кутами.

Звичайно, наприклад, у таких крутих темах, як тригонометричні рівняння та нерівності напрям обчислення кутів може колосально впливати на відповідь. І у відповідних темах ми це підводне каміння розглянемо.

Запам'ятовуємо:

Будь-яку точку на колі можна позначити як позитивним, і негативним кутом. Будь-яким! Яким хочемо.

А тепер задумаємося ось над чим. Ми з'ясували, що кут 45 ° точно збігається з кутом -315 °? Як же я дізнався про ці 315° ? Чи не здогадуєтеся? Так! Через повний оборот.) 360°. Ми маємо кут 45°. Скільки не вистачає до повного обігу? Забираємо 45° від 360° – ось і отримуємо 315° . Мотаємо в негативну сторону - і отримуємо кут -315 °. Все одно незрозуміло? Тоді дивимося на картинку ще раз.

І так треба чинити завжди при переведенні позитивних кутів у негативні (і навпаки) – малюємо коло, відзначаємо приблизнозаданий кут, вважаємо, скільки градусів не вистачає до повного обороту, і мотаємо різницю, що вийшла, в протилежний бік. І все.)

Чим ще цікаві кути, що займають на колі те саме положення, як ви думаєте? А тим, що у таких кутів абсолютно однакові синус, косинус, тангенс та котангенс! Завжди!

Наприклад:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120 ° = cos (-240 °)

Tg249 ° = tg (-111 °)

Ctg333° = ctg(-27°)

А ось це вже дуже важливо! Навіщо? Та все за тим самим!) Для спрощення виразів. Бо спрощення виразів – ключова процедура успішного вирішення будь-якихзавдань із математики. І з тригонометрії в тому числі.

Отже, із загальним правилом відліку кутів на колі розібралися. Ну а коли ми тут заїкнулися про повні оберти, про чверті, то час уже покрутити і помалювати ці самі кути. Помалюємо?)

Почнемо поки що з позитивнихкутів. Вони простіші в малюванні будуть.

Малюємо кути в межах одного обороту (між 0 і 360).

Намалюємо, наприклад, кут 60 °. Тут все просто, жодних проблем. Малюємо координатні осі, коло. Можна прямо від руки, без жодного циркуля та лінійки. Малюємо схематично: у нас не креслення з вами Жодних ГОСТів дотримуватися не треба, не покарають.)

Можна (для себе) відзначити значення кутів на осях та вказати стрілочку у напрямку проти годинника.Адже ми ж у плюс відкладати збираємося?) Можна цього й не робити, але в голові пам'ятати треба.

І тепер проводимо другу (рухливу) сторону кута. В якій чверті? У першій, зрозуміло! Бо 60 градусів – це між 0° і 90°. Ось і малюємо у першій чверті. Під кутом приблизно 60 градусів до нерухомого боку. Як відрахувати приблизно 60 градусів без транспорту? Легко! 60 ° - це дві третини від прямого кута!Ділимо подумки першу чортвертинку кола на три частини, забираємо собі дві третини. І малюємо... Скільки у нас там за фактом вийде (якщо прикласти транспортир і поміряти) – 55 градусів або 64 – не має значення! Важливо, що все одно десь близько 60 °.

Отримуємо картинку:

От і все. І інструментів не знадобилося. Розвиваємо окомір! Цей непоказний малюнок буває незамінним, коли треба подряпати коло і кут на швидку руку, не особливо замислюючись про красу. Але при цьому подряпати правильно, Без помилок, з усією необхідною інформацією. Наприклад, як допоміжний засіб при розв'язанні тригонометричних рівнянь та нерівностей.

Намалюємо тепер кут, наприклад, 265 °. Прикидаємо, де він може розташовуватися? Ну, зрозуміло, що не в першій чверті і навіть не в другій: вони на 90 і на 180 градусів закінчуються. Можна зрозуміти, що 265° - це 180° плюс ще 85°. Тобто до негативної півосі ОХ (там, де 180°) треба додати приблизно 85 °. Або ще простіше здогадатися, що 265° не дотягує до негативної півосі OY (там, де 270°) якихось нещасних 5°. Одним словом, у третій чверті буде цей кут. Дуже близько до негативної півосі OY, до 270 градусів, але все-таки третьої!

Малюємо:

Повторюся, абсолютна точність тут не потрібна. Нехай насправді цей кут вийшов, скажімо 263 градуси. Але на найголовніше питання (яка чверть?)ми відповіли безпомилково. Чому це питання найголовніше? Та тому, що будь-яка робота з кутом у тригонометрії (неважливо, ми малюватимемо цей кут чи не будемо) починається з відповіді саме на це питання! Завжди. Якщо це питання проігнорувати чи пробувати відповісти подумки, то помилки майже неминучі, так… Воно вам треба?

Запам'ятовуємо:

Будь-яка робота з кутом (у тому числі і малювання цього самого кута на колі) завжди починається з визначення чверті, до якої потрапляє цей кут.

Тепер, я сподіваюся, ви вже безпомилково зобразите кути, наприклад, 182 °, 88 °, 280 °. У правильнихчвертях. У третій, першій та четвертій, якщо що…)

Четверта чверть закінчується кутом 360 °. Це один повний обіг. Ясний перець, що цей кут займає на колі те саме положення, що і 0° (тобто початок відліку). Але кути на цьому не закінчуються, так…

Що робити з кутами, більшими за 360°?

"А такі хіба бувають?"- Запитайте ви. Буває, ще як! Буває, наприклад, кут 444 °. А буває, скажімо, кут 1000 °. Будь-які кути бувають.) Просто візуально такі екзотичні кути сприймаються трохи складніше, ніж звичні нам кути в межах одного обороту. Але малювати та прораховувати такі кути теж треба вміти, так.

Для правильного малювання таких кутів на колі необхідно все те саме – з'ясувати, в яку чверть потрапляє цікавий для нас кут. Тут вміння безпомилково визначати чверть значно важливіше, ніж для кутів від 0° до 360°! Сама процедура визначення чверті ускладнюється лише одним кроком. Яким скоро побачите.

Отже, наприклад, нам треба з'ясувати, в яку чверть попадає кут 444°. Починаємо крутити. Куди? У плюс, зрозуміло! Кут нам дали позитивний! +444 °. Крутимо, крутимо… Крутанули на один оборот – дійшли до 360°.

Скільки там залишилося до 444?Вважаємо хвостик, що залишився:

444 ° -360 ° = 84 °.

Отже, 444 ° - це один повний оборот (360 °) плюс ще 84 °. Очевидно, це перша чверть. Отже, кут 444 ° потрапляє у першу чверть.Півсправи зроблено.

Залишилося тепер зобразити цей кут. Як? Дуже просто! Робимо один повний оберт за червоною (плюсовою) стрілкою і додаємо ще 84 °.

Ось так:

Тут я вже не став захаращувати малюнок – підписувати чверті, малювати кути на осях. Це все добро вже давно в голові має бути.)

Зате я "равликом" або спіралькою показав, як саме складається кут 444 ° з кутів 360 ° і 84 °. Пунктирна червона лінія – це повний оборот. До якого додатково прикручуються 84 ° (суцільна лінія). До речі, зверніть увагу, що якщо цей найповніший оборот відкинути, то це ніяк не вплине на положення нашого кута!

А це важливо! Положення кута 444° повністю збігаєтьсяіз положенням кута 84°. Ніяких чудес немає, то вже виходить.)

А чи можна відкинути не один повний оборот, а два чи більше?

А чому ні? Якщо кут величезний, то не просто можна, а навіть потрібно! Кут не зміниться! Точніше, сам кут за величиною, звичайно ж, зміниться. А ось його становище на колі - ніяк немає!) На те вони й повніобороти, що скільки екземплярів не додай, скільки не зменшуй, все одно будеш в одну і ту ж точку потрапляти. Приємно, правда?

Запам'ятовуємо:

Якщо до кута додати (відібрати) будь-яке цілечисло повних оборотів, положення вихідного кута на колі не зміниться!

Наприклад:

В яку чверть попадає кут 1000?

Ніяких проблем! Вважаємо, скільки повних обертів сидить у тисячі градусів. Один оборот - це 360 °, ще один - вже 720 °, третій - 1080 ° ... Стоп! Перебір! Значить, у куті 1000 ° сидить дваповного обороту. Викидаємо їх із 1000° і вважаємо залишок:

1000 ° - 2 · 360 ° = 280 °

Значить, положення кута 1000 ° на колі теж саме, Що і біля кута 280 °. З яким працювати вже набагато приємніше.) І куди ж потрапляє цей кут? У четверту чверть він потрапляє: 270 ° (негативна піввісь OY) плюс ще десяточка.

Малюємо:

Тут я вже не малював пунктирною спіралькою два повні оберти: аж надто довга вона виходить. Просто намалював хвостик, що залишився. від нуля, відкинувши всізайві обороти. Ніби їх і не було зовсім.)

І ще раз. По-хорошому, кути 444 і 84, а також 1000 і 280 - різні. Але для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу ці кути – однакові!

Як ви бачите, для того щоб працювати з кутами, великими 360 °, треба визначити, скільки повних обертів сидить у заданому великому куті. Це і є той додатковий крок, який обов'язково треба попередньо проробляти при роботі з такими кутами. Нічого складного, правда?

Відкидання повних оборотів, звичайно, заняття приємне.) Але на практиці при роботі з дуже кошмарними кутами трапляються і труднощі.

Наприклад:

У яку чверть потрапляє кут 31240?

І що ж, багато разів будемо додавати по 360 градусів? Можна, якщо не горить особливо. Але ж ми не тільки складати можемо.) Ще й ділити вміємо!

Ось і поділимо наш величезний кут на 360 градусів!

Цією дією ми якраз і дізнаємось, скільки повних обертів заховано у наших 31240 градусах. Можна куточком поділити, можна (шепну на вушко:)) на калькуляторі.

Отримаємо 31240:360 = 86,777777.

Те, що число вийшло дрібним – не страшно. Нас же лише ціліобороти цікавлять! Отже, до кінця ділити і не треба.

Отже, у нашому кудлатому вугіллі сидить аж 86 повних обертів. Жах…

У градусах це буде86 · 360 ° = 30960 °

Ось так. Саме стільки градусів можна безболісно викинути із заданого кута 31240°. Залишиться:

31240 ° - 30960 ° = 280 °

Всі! Положення кута 31240 ° повністю ідентифіковано! Там же де і 280°. Тобто. четверта чверть.) Здається, ми вже зображували цей кут раніше? Коли кут 1000 ° малювали?) Там ми теж на 280 градусів вийшли. Збіг.)

Отже, мораль цієї байки така:

Якщо нам заданий страшний кут, то:

1. Визначаємо, скільки повних обертів сидить у цьому вугіллі. Для цього ділимо вихідний кут на 360 і відкидаємо дрібну частину.

2. Вважаємо, скільки градусів в отриманій кількості обертів. Для цього множимо число оборотів на 360.

3. Віднімаємо ці обороти від вихідного кута та працюємо зі звичним кутом у межах від 0° до 360°.

Як працювати з негативними кутами?

Не питання! Так само, як і з позитивними, тільки з однією єдиною відмінністю. Яким? Так! Крутити кути треба в зворотний бік, у мінус! По ходу годинникової стрілки.)

Намалюємо, наприклад, кут -200 °. Спочатку все як завжди для позитивних кутів - осі, коло. Ще синю стрілочку з мінусом зобразимо та кути на осях по-іншому підпишемо. Їх, звичайно, також доведеться відраховувати у негативному напрямку. Це будуть ті самі кути, що крокують через 90°, але відраховані у зворотний бік, в мінус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Картинка стане ось такою:

Працюючи з негативними кутами часто виникає відчуття легкого подиву. Як так?! Виходить, що та сама вісь – це одночасно, скажімо, і +90° і -270°? Неї, щось тут нечисто ...

Та все чисто та прозоро! Адже ми вже в курсі, що будь-яку точку на колі можна обізвати як позитивним кутом, так і негативним! Цілком будь-яку. У тому числі і на якійсь із координатних осей. У нашому випадку нам потрібно негативнеобчислення кутів. Ось і відштовхуємо в мінус усі кути.)

Тепер намалювати правильно кут -200 ° не складно. Це -180 ° і мінусще 20 °. Починаємо мотати від нуля в мінус: четверту чверть пролітаємо, третю теж повз, доходимо до -180 °. Куди мотати двадцятку, що залишилася? Та все туди! По годинах.) Разом кут -200 ° потрапляє в другучверть.

Тепер ви розумієте, наскільки важливо залізно пам'ятати кути на осях координат?

Кути на осях координат (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) треба пам'ятати саме для того, щоб безпомилково визначати чверть, куди потрапляє кут!

А якщо кут великий, з декількома повними обертами? Нічого страшного! Яка різниця, куди ці найповніші оберти крутити – у плюс чи мінус? Точка на колі не змінить свого становища!

Наприклад:

У яку чверть попадає кут -2000?

Все теж саме! Для початку вважаємо, скільки повних обертів сидить у цьому злом вугіллі. Щоб не косити в знаках, залишимо мінус поки в спокої і просто поділимо 2000 на 360. Отримаємо 5 з хвостиком. Хвостик нас поки що не хвилює, його трохи пізніше порахуємо, коли малюватимемо кут. Вважаємо п'ятьповних обертів у градусах:

5 · 360 ° = 1800 °

Ось. Саме стільки зайвих градусів можна сміливо викинути з нашого кута без шкоди здоров'ю.

Вважаємо хвостик, що залишився:

2000 ° - 1800 ° = 200 °

А ось тепер можна і про мінус згадати.) Куди мотатимемо хвостик 200 °? У мінус, звичайно! А нам негативний кут заданий.)

2000 ° = -1800 ° - 200 °

Ось і малюємо кут -200 °, тільки вже без зайвих обертів. Щойно його малювали, але, так і бути, накаляю ще разок. Від руки.

Ясний перець, як і заданий кут -2000°, як і -200°, потрапляє в другу чверть.

Отже, мотаємо собі на кру… пардон… на вус:

Якщо заданий дуже великий негативний кут, то перша частина роботи з ним (пошук числа повних оборотів та їх відкидання) та сама, що і при роботі з позитивним кутом. Знак "мінус" на даному етапі рішення не відіграє жодної ролі. Враховується знак лише наприкінці, під час роботи з кутом, що залишився після видалення повних оборотів.

Як бачите, малювати негативні кути на колі не складніше, ніж позитивні.

Все те саме, тільки в інший бік! По годинах!

А ось тепер – найцікавіше! Ми розглянули позитивні кути, негативні кути, великі кути, маленькі повний асортимент. Також ми з'ясували, що будь-яку точку на колі можна обізвати позитивним та негативним кутом, відкидали повні оберти… Немає жодних думок? Повинно відкластися...

Так! Яку точку на колі не візьми, їй відповідатиме безліч кутів! Великих і не дуже, позитивних та негативних – усіляких! І різниця між цими кутами становитиме ціле кількість повних оборотів. Завжди! Так вже тригонометричне коло влаштоване, так...) Саме тому зворотназавдання - знайти кут за відомим синусом/косинусом/тангенсом/котангенсом - вирішується неоднозначно. І набагато складніше. На відміну від прямого завдання - по заданому кутку знайти весь набір його тригонометричних функцій. І на більш серйозних темах тригонометрії ( арки, тригонометричні рівнянняі нерівності ) Ми з цією фішкою зіштовхуватимемося постійно. Звикаємо.)

1. У яку чверть попадає кут -345°?

2. У яку чверть попадає кут 666°?

3. У яку чверть попадає кут 5555°?

4. У яку чверть попадає кут -3700?

5. Який знак маєcos999 °?

6. Який знак маєctg999 °?

І це вийшло? Прекрасно! Є проблеми? Тоді вам.

Відповіді:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Цього разу відповіді видано по порядку з порушенням традицій. Бо чвертей лише чотири, а знаків так і зовсім два. Особливо не розбіжишся ...)

У наступному уроці ми з вами поговоримо про радіани, про загадкове число пі, навчимося легко і просто переводити радіани в градуси і назад. І з подивом виявимо, що навіть цих простих знань та навичок нам буде вже цілком достатньо для успішного вирішення багатьох нетривіальних завдань із тригонометрії!

У цій статті зібрані таблиці синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. Спочатку ми наведемо таблицю основних значень тригонометричних функцій, тобто таблицю синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів кутів 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусів ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадіан). Після цього ми дамо таблицю синусів та косінусів, а також таблицю тангенсів та котангенсів В. М. Брадіса, і покажемо, як використовувати ці таблиці при знаходженні значень тригонометричних функцій.

Навігація на сторінці.

Таблиця синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів для кутів 0, 30, 45, 60, 90, … градусів

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
• Брадіс В. М.Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноосвіт. навч. закладів. - 2-ге вид. - М: Дрофа, 1999. - 96 с.: іл. ISBN 5-7107-2667-2