Як знайти об'єм правильної трикутної. Об'єм трикутної піраміди. Формула об'єму правильної трикутної піраміди

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Визначення. Бічна грань- Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).

Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.

Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.

Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.

Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.

Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.

Об'єм та площа поверхні піраміди

Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:

Властивості піраміди

Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).

Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.

Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Якщо бічні гранінахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується в її центр.

Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.

Властивості правильної піраміди

1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.

2. Усі бічні ребра рівні.

3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.

4. Апофеми всіх бічних граней рівні.

5. Площі всіх бічних граней рівні.

6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.

7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.

8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.

9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки один кут дорівнює π/n , де n - це кількість кутів в основі піраміди.

Зв'язок піраміди зі сферою

Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідне і достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.

Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.

У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.

Зв'язок піраміди з конусом

Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.

Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.

Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.

Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.

Зв'язок піраміди з циліндром

Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.

Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Визначення. Усічена піраміда (пірамідальна призма)- це багатогранник, який знаходиться між основою піраміди та площиною перерізу, паралельною основі. Таким чином піраміда має більшу основу і меншу основу, яка подібна до більшої. Бічні грані є трапецією.

Визначення. Трикутна піраміда (чотиригранник)- це піраміда в якій три грані та основа є довільними трикутниками.

У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.

Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.

Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).

Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).

Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.

Визначення. Похила піраміда- це піраміда в якій одне з ребер утворює тупий кут (β) з основою.

Визначення. Прямокутна піраміда- це піраміда в якій одна з бічних граней перпендикулярна до основи.

Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.

Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.

Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедравсі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.

Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутниками, а основа є довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.

Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.

Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.

Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.

Визначення. Біпіраміда- багатогранник, що складається із двох різних пірамід (також можуть бути зрізані піраміди), що мають загальну основу, а вершини лежать по різні боки від площини основи.

Визначення піраміди

Піраміда- Це багатогранник, основою якого є багатокутник, а грані його є трикутниками.

Онлайн-калькулятор

У піраміди є ребра. Можна сказати, що вони тягнуться до точки, званої вершиноюданої піраміди. Її основоюможе бути довільний багатокутник. Грань- це постать, що утворюється внаслідок об'єднання двох найближчих ребер зі стороною основи. Гранню піраміди є трикутник. Відстань від вершини піраміди до середини сторони основи називається апофемою. ВисотоюПіраміди називається довжина перпендикуляра, опущеного з вершини до центру її основи.

Типи пірамід

Розрізняють такі типи пірамід.

Прямокутна- у неї ребро утворює кут 90 градусів з основою.
Правильна- її основа - якийсь правильний багатокутник, а вершина проектується до центру цієї основи.
Тетраедр- піраміда, біля якої в основі лежить трикутник.

Формули обсягу піраміди

Об'єм піраміди знаходиться декількома способами.

По площі основи та висоті піраміди

Просте множення однієї третини площі основи висоту піраміди і є її обсягом.

Об'єм піраміди за площею основи та висотою

V = 1 3 ⋅ S осн ⋅ h V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(осн))\cdot hV =3 1 ⋅ S осн ⋅ h

S осн S_(text(осн)) S осн - площа основи піраміди;
h h h- Висота цієї піраміди.

Завдання 1

Площа основи піраміди дорівнює 100 см 2 100\text( см)^2 1 0 0 см2 , А висота її дорівнює 30 см 30\text(см) 3 0 см. Знайдіть об'єм тіла.

Рішення

S осн = 100 S_(text(осн))=100S осн = 1 0 0
h = 30 h = 30 h =3 0

Всі величини нам відомі, підставляємо їх чисельні значення у формулу та знаходимо:

V = 1 3 ⋅ S осн ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 см 3 V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(осн))\cdot h=\frac(1)( 3) cdot 100 cdot 30 = 1000 text (см) ^ 3V =3 1 ⋅ S осн ⋅ h =3 1 ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 см3

Відповідь

1000 см 3 . 1000text(см)^3.1 0 0 0 см3 .

Формула об'єму правильної трикутної піраміди

Цей спосіб підходить, якщо піраміда правильна та трикутна.

Об'єм правильної трикутної піраміди

V = h ⋅ a 2 4 3 V = frac (h cdot a 2) (4 sqrt (3))V =4 3 h ⋅ a 2

H h h- Висота піраміди;
a a a

Завдання 2

Обчисліть об'єм правильної трикутної піраміди, якщо в її основі лежить рівносторонній трикутник, у якому сторона дорівнює 5 см 5\text(см) 5 см, А висота піраміди дорівнює - 19 см 19\text( см) 1 9 см.

Рішення

A = 5 a = 5 a =5
h = 19 h = 19 h =1 9

Просто підставляємо дані величини формулу для обсягу:

V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68.6 см 3 V=\frac(h\cdot a^2) (4\sqrt(3))\approx68.6\text( см)^3V =4 3 h ⋅ a 2 = 4 3 1 9 ⋅ 5 2 ≈ 6 8 . 6 см3

Відповідь

68.6 см 3 . 68.6text(см)^3.6 8 . 6 см3 .

Формула об'єму правильної чотирикутної піраміди

Об'єм правильної чотирикутної піраміди

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2V =3 1 ⋅ h ⋅a 2

H h h- Висота піраміди;
a a a- сторона основи піраміди.

Завдання 3

Дана правильна чотирикутна піраміда. Обчисліть її об'єм, якщо її висота дорівнює 7 см 7\text( см) 7 см, a сторона основи становить – 2 см 2\text( см) 2 см.

Рішення

A = 2 a = 2 a =2
h = 7 h = 7 h =7

За формулою обчислюємо:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9.3 см 3 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2=\frac(1)(3)\cdot 7\cdot 2^2\approx9.3\text( см)^3V =3 1 ⋅ h ⋅a 2 = 3 1 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 см3

Відповідь

9.3 см3. 9.3\text(см) ^3.9 . 3 см3 .

Формула обсягу тетраедра

Об'єм тетраедра

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)V =1 2 2 ⋅ a 3

A a a- Довжина ребра тетраедра.

Завдання 4

Довжина ребра тетраедра дорівнює 13 см 13\text( см) 1 3 см. Знайдіть його обсяг.

Рішення

A = 13 a = 13 a =1 3

Підставляємо a a aу формулу для обсягу тетраедра:

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 см 3 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)=\frac(\sqrt(2)\cdot 13^ 3) (12) \ approx259 \ text (см) ^ 3V =1 2 2 ⋅ a 3 = 1 2 2 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 5 9 см3

Відповідь

$259text(см)^3.$

Формула об'єму піраміди як визначник

Напевно, найекзотичніший спосіб обчислення об'єму даного тіла.

Нехай дані вектори, на яких побудована піраміда як на сторонах. Тоді її обсяг дорівнюватиме одній шостій змішаного твору векторів. Останній у свою чергу дорівнює визначнику, що складається з координат цих векторів. Отже, якщо піраміда побудована на трьох векторах:

$\vec(a)=(a_x, a_y, a_z)$

тоді обсяг відповідної піраміди це такий визначник:

Об'єм піраміди через визначник

$\ frac (1) (6) \ cdot \ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \ )$

Завдання 5

Знайти обсяг піраміди через змішаний добуток векторів, координати яких такі: $a = (2, 3, 5), b = (1, 4, 4), c = (3, 5, 7) .$

Рішення

$\vec(a)=(2,3,5)$

За формулою:

$V=\frac(1)(6)\ cdot\begin(vmatrix) 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3cdot4cdot3 + 5cdot1cdot5 - 5cdot4cdot3 - 2cdot4cdot5 - 3cdot1cdot7) = frac(1)(6)cdot(56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21)=\frac(1)(6)\cdot(-4)=-\frac(2)(3)\approx-0.7$

Ми повинні взяти модуль цього числа, тому що об'єм є невід'ємною величиною:

$\ text (см) ^ 3$

Відповідь

$0.7\text(см) ^3.$

Піраміда - це багатогранник, основу якого лежить багатокутник. Всі грані у свою чергу утворюють трикутники, які сходяться на одній вершині. Піраміди бувають трикутними, чотирикутними тощо. Щоб визначити, яка піраміда перед вами, досить порахувати кількість кутів у її основі. Визначення "висота піраміди" дуже часто зустрічається у завданнях з геометрії у шкільній програмі. У статті спробуємо розглянути різні способиїї знаходження.

Частини піраміди

Кожна піраміда складається з наступних елементів:

бічні грані, які мають по три кути та сходяться у вершині;
апофема є висотою, яка опускається з її вершини;
вершина піраміди - це точка, яка з'єднує бічні ребра, але при цьому не лежить у площині основи;
основа - це багатокутник, у якому лежить вершина;
висота піраміди є відрізком, який перетинає вершину піраміди і утворює з її основою прямий кут.

Як знайти висоту піраміди, якщо відомий її об'єм

Через формулу V = (S * h) / 3 (у формулі V - об'єм, S - площа основи, h - висота піраміди) знаходимо, що h = (3 * V) / S. Для закріплення матеріалу давайте відразу вирішимо завдання. Трикутна основа дорівнює 50 см 2 , тоді як її обсяг становить 125 см 3 . Невідома висота трикутної піраміди, яку нам необхідно знайти. Тут все просто: вставляємо дані до нашої формули. Отримуємо h = (3 * 125) / 50 = 7,5 см.

Як знайти висоту піраміди, якщо відома довжина діагоналі та її ребра

Як ми пам'ятаємо, висота піраміди утворює з її основою прямий кут. А це означає, що висота, ребро і половина діагоналі разом утворюють Багато хто, звичайно ж, пам'ятають теорему Піфагора. Знаючи два виміри, третю величину знайти буде нескладно. Згадаймо відому теорему a² = b² + c², де а - гіпотенуза, а нашому випадку ребро піраміди; b - перший катет або половина діагоналі і - відповідно, другий катет, або висота піраміди. З цієї формули c? = a? - b?.

Тепер завдання: у правильній піраміді діагональ дорівнює 20 см, коли як довжина ребра - 30 см. Необхідно визначити висоту. Вирішуємо: c ² = 30 ² - 20 ² = 900-400 = 500. Звідси з = √ 500 = близько 22,4.

Як знайти висоту зрізаної піраміди

Вона являє собою багатокутник, який має перетин паралельно до її основи. Висота усіченої піраміди - це відрізок, який з'єднує дві її основи. Висоту можна знайти у правильній піраміди, якщо будуть відомі довжини діагоналей обох основ, а також ребро піраміди. Нехай діагональ більшої основи дорівнює d1, тоді як діагональ меншої основи – d2, а ребро має довжину – l. Щоб знайти висоту, можна із двох верхніх протилежних точок діаграми опустити висоти на її основу. Ми бачимо, що у нас вийшли два прямокутні трикутники, залишається знайти довжини їх катетів. Для цього з більшої діагоналі віднімаємо меншу та ділимо на 2. Так ми знайдемо один катет: а = (d1-d2)/2. Після чого за теоремою Піфагора нам залишається лише знайти другий катет, який є висотою піраміди.

Тепер розглянемо всю цю справу на практиці. Перед нами завдання. Усічена піраміда має в основі квадрат, довжина діагоналі більшої основи дорівнює 10 см, тоді як меншої - 6 см, а ребро дорівнює 4 см. Потрібно знайти висоту. Для початку знаходимо один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет дорівнює 2 см, а гіпотенуза - 4 см. Виходить, що другий катет або висота дорівнюватиме 16-4 = 12, тобто h = √12 = близько 3,5 см.

Однією з найпростіших об'ємних фігур є трикутна піраміда, оскільки вона складається з найменшого числа граней, з якого можна утворити фігуру у просторі. У статті розглянемо формули, з допомогою яких можна знайти обсяг трикутної правильної піраміди.

Трикутна піраміда

Згідно загальному визначеннюпіраміда є багатокутником, всі вершини якого з'єднані з однією точкою, не розташованою в площині цього багатокутника. Якщо останній є трикутником, то вся фігура називається трикутною пірамідою.

Розглянута піраміда складається з основи (трикутника) та трьох бічних граней (трикутників). Крапка, в якій з'єднані три бічні грані, називається вершиною фігури. Опущений основу перпендикуляр з цієї вершини є висотою піраміди. Якщо точка перетину перпендикуляра з основою збігається з точкою перетину медіан трикутника в основі, тоді говорять про правильну піраміду. В іншому випадку вона буде похилою.

Як було сказано, основа трикутної піраміди може бути трикутником загального типу. Однак якщо він є рівностороннім, а сама піраміда пряма, тоді говорять про правильну об'ємну фігуру.

Будь-яка трикутна піраміда має 4 грані, 6 ребер та 4 вершини. Якщо довжини всіх ребер дорівнюють між собою, тоді така фігура називається тетраедром.

загального типу

Перш ніж записати правильну трикутну піраміду, наведемо вираз цієї фізичної величини для піраміди загального типу. Цей вираз має вигляд:

Тут S o – площа основи, h – висота фігури. Ця рівність буде справедливою для будь-якого типу основи багатокутника піраміди, а також для конуса. Якщо ж у підставі знаходиться трикутник, що має довжину сторони a і висоту h o опущену на неї, тоді формула для об'єму запишеться так:

Формули об'єму правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда має рівносторонній трикутник в основі. Відомо, що висота цього трикутника пов'язана з довжиною його боку рівністю:

Підставляючи цей вираз у формулу для обсягу трикутної піраміди, записану в попередньому пункті, отримуємо:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Об'єм правильної піраміди з трикутною основою є функцією довжини сторони основи та висоти фігури.

Оскільки будь-який правильний багатокутник можна вписати в коло, радіус якого однозначно визначить довжину сторони багатокутника, тоді цю формулу можна записати через відповідний радіус r:

Цю формулу легко отримати з попередньої, якщо врахувати, що радіус r описаного кола через довжину сторони трикутника визначається виразом:

Завдання визначення обсягу тетраедра

Покажемо, як використовувати наведені вище формули під час вирішення конкретних задач геометрії.

Відомо, що тетраедр має довжину ребра 7 см. Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди-тетраедра.

Нагадаємо, що тетраедр є правильною в якій усі підстави рівні між собою. Щоб скористатися формулою трикутної об'єму, необхідно обчислити дві величини:

довжину сторони трикутника;
висоту фігури.

Перша величина відома з умови завдання:

Щоб визначити висоту, розглянемо фігуру, зображену малюнку.

Зазначений трикутник ABC є прямокутним, де кут ABC дорівнює 90 o . Сторона AC – це гіпотенуза, довжина якої дорівнює a. Шляхом нескладних геометричних міркувань можна показати, що сторона BC має довжину:

Зауважимо, що довжина BC є радіусом описаного навколо трикутника кола.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Тепер можна h і a підставити у відповідну формулу для обсягу:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Таким чином, ми одержали формулу обсягу тетраедра. Видно, що обсяг залежить лише від довжини ребра. Якщо вираз підставити значення з умови завдання, тоді отримуємо відповідь:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .

Якщо порівняти цю величину з об'ємом куба, що має таке ж ребро, то отримаємо, що об'єм тетраедра в 8,5 разів менше. Це свідчить про те, що тетраедр є компактною фігурою, що реалізується у деяких природних речовинах. Наприклад, молекула метану має тетраедричну форму, а кожен атом вуглецю в алмазі з'єднаний з чотирма іншими атомами, що утворюють тетраедр.

Завдання з гомотетичними пірамідами

Розв'яжемо одну цікаву геометричну задачу. Припустимо, що є правильна трикутна піраміда з деяким об'ємом V 1 . У скільки разів слід зменшити розміри цієї фігури, щоб отримати гомотетичну їй піраміду з об'ємом, втричі меншим за вихідний?