Первісна та інтеграл. Невизначений інтеграл, його властивості та обчислення. Первісна та невизначений інтеграл Первісна та невизначений інтеграл властивості презентація

Первісна. Завдання диференціального обчислення: за цією функцією визначити її похідну. Завдання інтегрального обчислення: визначити функцію, знаючи її похідну. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для будь-якого х із цього проміжку справедлива рівність F ʹ (x)=f(x).

Теорема. Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на деякому проміжку, то множина всіх первісних цієї функції має вигляд F(x)+C, де C R. y x 0 Геометрично: F(x)+C є сімейством кривих, одержуваних із кожної їх паралельним перенесенням вздовж осі ОУ. З інтегральна крива

Приклад 2. Знайти всі первісні функції f(x)=2x та зобразити їх геометрично. y x

Підінтегральна функція - підінтегральний вираз - знак невизначеного інтеграла х – змінна інтегрування F(x)+C – безліч всіх первісних З – стала інтегрування Процес знаходження первинної функції називається інтегруванням, а розділ математики- інтегральним обчисленням.

Властивості невизначеного інтеграла Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції:

Основні методи інтегрування. Метод безпосереднього інтегрування. Безпосереднім інтегруванням називається такий метод обчислення інтегралів, у якому вони зводяться до табличних шляхом застосування до них основних властивостей невизначеного інтегралу. При цьому підінтегральну функцію зазвичай перетворюють відповідним чином.

Аношина О.В.

Основна література

1. Шипачов В. С. Вища математика. Базовий курс: підручник та
практикум для бакалаврів [Гриф Міносвіти РФ]/В. С.
Шипачів; за ред. А. Н. Тихонова. - 8-е вид., перероб. та дод. Москва: Юрайт, 2015. – 447 с.
2. Шипачов В. С. Вища математика. Повний курс: підручник
для акад. бакалаврату [Гриф УМО] / В. С. Шипачов; за ред. А.
М. Тихонова. - 4-те вид., Випр. та дод. - Москва: Юрайт, 2015. - 608
з
3. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевнікова Т..Я. Вища математика
у вправах та завданнях. [Текст]/П.Є. Данко, О.Г. Попов, Т.Я.
Кожевнікова. О 2 год. – М.: Вища школа, 2007. – 304+415с.

Звітність

1.
Контрольна робота. Виконується відповідно:
Завдання та методичні вказівкидо виконання контрольних робіт
з дисципліни «ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА», Єкатеринбург, ФДАО
ВО «Російський державний професійно-педагогічний
університет», 2016 – 30с.
варіант контрольної роботивибирати за останньою цифрою номера
залікової книжки.
2.
Іспит

Невизначений інтеграл, його властивості та обчислення Первісна та невизначений інтеграл

Визначення. Функція F x називається
первісної функції f x , визначеної на
деякому проміжку, якщо F x f x для
кожного з цього проміжку.
Наприклад, функція cos x є
первісної функції sin x , оскільки
cos x sin x.

Очевидно, якщо F x - первісна
функції f x , то F x C , де C деяка постійна, також є
первісної функції f x.
Якщо F x є якась первісна
функції f x , то будь-яка функція виду
Ф x F x C також є
первісної функції f x і всяка
первісна уявна в такому вигляді.

Визначення. Сукупність усіх
первісних функцій f x ,
визначених на деякому
проміжку, називається
невизначеним інтегралом від
функції f x на цьому проміжку та
позначається f x dx.

Якщо F x - деяка первісна функція
f x , то пишуть f x dx F x C , хоча
правильніше писати f x dx F x C .
Ми за традицією будемо писати
f x dx F x C .
Тим самим один і той самий символ
f x dx буде позначати як всю
сукупність первісних функцій f x ,
так і будь-який елемент цієї множини.

Властивості інтегралу

Похідна невизначеного інтеграла дорівнює
підінтегральної функції, а його диференціал підінтегрального виразу. Дійсно:
1.(f(x)dx) (F(x)C) F(x)f(x);
2.d f(x)dx(f(x)dx) dx f(x)dx.

Властивості інтегралу

3. Невизначений інтеграл від
диференціала безперервно (x)
диференційованої функції дорівнює самій
цієї функції з точністю до постійної:
d(x)(x)dx(x)C,
оскільки (x) є первісною для (x).

Властивості інтегралу

4.Якщо функції f1 x і f 2 x мають
первісні, то функція f1 x f 2 x
також має первісну, причому
f1 x f 2 x dx f1 x dx f2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6. f x dx f x C;
7. f x x d x F x C .

1. dx x C.
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C.
x
x
a
4. a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C.
dx
8. 2 ctgx C.
sin x
dx
9. 2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Таблиця невизначених інтегралів

11.
dx
arcsin x C.
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x

Властивості диференціалів

При інтегруванні зручно користуватися
властивостями: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3

Приклади

приклад. Обчислити cos 5xdx.
Рішення. У таблиці інтегралів знайдемо
cos xdx sin x C .
Перетворимо даний інтеграл до табличного,
скориставшись тим, що d ax adx .
Тоді:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C.
5

Приклади

приклад. Обчислити x
3x x 1 dx.
Рішення. Тому що під знаком інтеграла
знаходиться сума чотирьох доданків, то
розкладаємо інтеграл на суму чотирьох
інтегралів:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Незалежність від виду змінної

При обчисленні інтегралів зручно
користуватися такими властивостями
інтегралів:
Якщо f x dx F x C , то
f x b dx F x b C .
Якщо f x dx F x C , то
1
f ax b dx F ax b C .
a

приклад

Обчислимо
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Методи інтегрування Інтегрування частинами

Цей метод заснований на формулі udv uv vdu.
Методом інтегрування частинами беруть такі інтеграли:
а) x n sin xdx де n 1,2 ... k;
б) x n e x dx де n 1,2 ... k;
в) x n arctgxdx де n 0, 1, 2, ... k . ;
г) x n ln xdx де n 0, 1, 2, ... k .
При обчисленні інтегралів а) та б) вводять
n 1
позначення: x n u тоді du nx dx , а, наприклад
sin xdx dv ,тоді v cos x .
При обчисленні інтегралів в), г) позначають u функцію
arctgx, ln x, а за dv беруть x n dx.

Приклади

приклад. Обчислити x cos xdx.
Рішення.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Приклади

приклад. Обчислити
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Метод заміни змінної

Нехай потрібно знайти f x dx, причому
безпосередньо підібрати первісну
для f x ми не можемо, але нам відомо, що
вона існує. Часто вдається знайти
первісну, ввівши нову змінну,
за формулою
f x dx f t t dt , де x t , а t - нова
змінна

Інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен

Розглянемо інтеграл
ax b
dx,
x px q
містить квадратний тричлен
знаменника підінтегрального
вирази. Такий інтеграл беруть також
методом заміни змінних,
попередньо виділивши в
знаменнику повний квадрат.
2

приклад

Обчислити
dx
.
x 4x 5
Рішення. Перетворимо x 2 4 x 5 ,
2
виділяючи повний квадрат за формулою a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тоді отримуємо:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

приклад

Знайти
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Певний інтеграл, основні властивості. Формула Ньютона-Лейбніца. Програми певного інтеграла.

До поняття певного інтегралу наводить
завдання знаходження площі криволінійної
трапеції.
Нехай на деякому інтервалі задано
безперервна функція y f (x) 0
Завдання:
Побудувати її графік і знайти F площу фігури,
обмеженою цією кривою, двома прямими x = a і x
= b, а знизу – відрізком осі абсцис між точками
x = a та x = b.

Фігура aABb називається
криволінійною трапецією

Визначення

b
f(x)dx
Під певним інтегралом
a
від цієї безперервної функції f(x) на
даному відрізку розуміється
відповідне збільшення її
первісної, тобто
F(b) F(a) F(x) /
b
a
Числа a та b – межі інтегрування,
- Проміжок інтегрування.

Правило:

Певний інтеграл дорівнює різниці
значень первісної підінтегральної
функції для верхньої та нижньої меж
інтегрування.
Ввівши позначення для різниці
b
F(b) F(a) F(x)/a
b
f(x)dx F(b) F(a)
a
Формула Ньютона - Лейбніца.

Основні властивості певного інтегралу.

1)Величина певного інтегралу залежить від
позначення змінної інтегрування, тобто.
b
b
a
a
f(x)dx f(t)dt
де x та t – будь-які літери.
2) Певний інтеграл з однаковими
межами
інтегрування дорівнює нулю
a
f(x)dx F(a) F(a) 0
a

3) При перестановці меж інтегрування
певний інтеграл змінює свій знак на зворотний
b
a
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
a
b
(Властивість адитивності)
4) Якщо проміжок розбито на кінцеве число
часткових проміжків, то певний інтеграл,
взятий за проміжком , дорівнює сумі певних
інтегралів, взятих за всіма його частковими проміжками.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Постійний множник можна виносити
за знак певного інтегралу.
6) Певний інтеграл від алгебраїчної
суми кінцевого числа безперервних
функцій дорівнює такій же алгебраїчній
сумі певних інтегралів від цих
функцій.

3. Заміна змінної у певному інтегралі.

3. Заміна змінної у визначеному
інтегралі.
b
f(x)dx f(t)(t)dt
a
a (), b (), (t)
де
для t [; ] , функції (t) і (t) безперервні;
5
Приклад:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Невласні інтеграли.

Невласні інтеграли.
Визначення. Нехай функція f(x) визначена на
нескінченному інтервалі , де b< + . Если
існує
b
lim
f(x)dx,
b
a
то ця межа називається невласною
інтегралом функції f(x) на інтервалі
}