Електростатичне поле створюється рівномірно зарядженої нескінченної площиною. Покажіть, що це поле є однорідним. Напруженість електростатичного поля. Рух заряджених частинок в однорідному електричному полі Однорідне електричне поле зі

Продемонструємо можливості теореми Остроградського-Гаусса на кількох прикладах.

Поле нескінченної однорідно зарядженої площини

Поверхнева щільність заряду на довільній площині площею S визначається за формулою:

де dq - заряд, зосереджений на площі dS; dS - фізично нескінченно малий ділянку поверхні.

Нехай σ у всіх точках площини S однакова. Заряд q - позитивний. Напруженість у всіх точках буде мати напрямок, перпендикулярний площині S (Рис. 2.11).

Очевидно, що в симетричних, щодо площини точках, напруженість будетодінакова за величиною і протилежна за напрямком.

Уявімо собі циліндр з утворюють, перпендикулярними площині, і підставами Δ S, Розташованими симетрично відносно площини (рис. 2.12).

	Рис. 2.11	Рис. 2.12

Застосуємо теорему Остроградського-Гаусса. Потік Ф Е через бічну частину поверхні циліндра дорівнює нулю, т.к.Дляоснованія циліндра

Сумарний потік через замкнуту поверхню (циліндр) буде дорівнює:

Всередині поверхні укладено заряд. Отже, з теореми Остроградського-Гаусса отримаємо:

;

звідки видно, що напруженість поля площині S дорівнює:

(2.5.1)

Отриманий результат не залежить від довжини циліндра. Це означає, що на будь-якій відстані від площини

Поле двох рівномірно заряджених площин

Нехай дві нескінченні площини заряджені різнойменними зарядами з однаковою за величиною щільністю σ (рис. 2.13).

Результуюче поле, як було сказано вище, знаходиться як суперпозиція полів, створюваних кожної з площин.

тоді всередині площин

(2.5.2)

поза площин напруженість поля

Отриманий результат справедливий і для площин кінцевих розмірів, якщо відстань між площинами набагато менше лінійних розмірів площин (плоский конденсатор).

Між пластинами конденсатора діє сила взаємного тяжіння (на одиницю площі пластин):

де S - площа обкладок конденсатора. Оскільки , то

.

(2.5.5)

Це формула для розрахунку пондермоторной сили.

Поле зарядженого нескінченно довгого циліндра (нитки)

Нехай поле створюється нескінченною циліндричною поверхнею радіуса R, зарядженої з постійною лінійною щільністю, де dq - заряд, зосереджений на відрізку циліндра (рис. 2.14).

З міркування симетрії випливає, що Е в будь-якій точці буде спрямована вздовж радіуса, перпендикулярно осі циліндра.

Уявімо навколо циліндра (нитки) коаксіальну замкнуту поверхню ( циліндр в циліндрі) радіусу r і довжиною l (підстави циліндрів перпендикулярно осі). Для підстав циліндрів для бічної поверхні тобто залежить від відстані r.

Отже, потік вектора через розглянуту поверхню, дорівнює

При на поверхні буде заряд За теоремою Остроградського-Гаусса, звідси

.

(2.5.6)

Якщо, тому що всередині замкнутої поверхні зарядів немає (рис.2.15).

Якщо зменшувати радіус циліндра R (при), то можна поблизу поверхні отримати поле з дуже великою напруженістю і, при, отримати нитку.

Поле двох коаксіальних циліндрів з однаковою лінійною щільністю λ, але різним знаком

Усередині меншого і поза більшого циліндрів поле буде відсутній (рис. 2.16).

У зазорі між циліндрами, поле визначається так само, як і в попередньому випадку:

Це справедливо і для нескінченно довгого циліндра, і для циліндрів кінцевої довжини, якщо зазор між циліндрами набагато менше довжини циліндрів (циліндричний конденсатор).

Поле зарядженого пустотілого кулі

Пустотіла куля (або сфера) радіуса R заряджений позитивним зарядом з поверхневою щільністю σ. Поле в даному випадку буде центрально симетричним, - в будь-якій точці проходить через центр кулі. , і силові лінії перпендикулярні поверхні в будь-якій точці. Уявімо навколо кулі - сферу радіуса r (рис. 2.17).

8. Електричне поле створюється рівномірно зарядженої нескінченної площиною. Покажіть, що це поле є однорідним.

Нехай поверхнева щільність заряду дорівнює s. Очевидно що вектор Е може бути тільки перпендикулярним зарядженої площини. Крім того очевидно, що в симетричних відносно цієї площини точках вектор Е однаковий по модулю і протилежний за напрямком. Така конфігурація поля підказує, що в якості замкнутої поверхні слід вибрати прямий циліндр, де передбачається що s більше нуля. Потік крізь бічну поверхню цього циліндра дорівнює нулю, і тому повний потік через всю поверхню циліндра буде рівним 2 * Е * DS, де DS - площа кожного торця. Згідно з теоремою Гаусса

де s * DS - заряд укладений всередині циліндра.

Точніше цей вислів слід записати так:

де Еn - проекція вектора Е на нормаль n до зарядженої площини, причому вектор n спрямований від цієї площини.

Той факт, що Е не залежить від відстані до площини, означає, що відповідне електричне поле є однорідним.

9. З мідного дроту виготовлена \u200b\u200bчверть кола радіусом 56 см. По дроті рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною 0,36 нКл / м. Знайдіть потенціал у центрі кола.

Так як заряд лінійно розподілений по дроту для знаходження потенціалу в центрі скористаємося формулою:

Де s - лінійна щільність заряду, dL - елемент дроту.

10. У електричному полі, створеному точковим зарядом Q, по силовій лінії з точки розташованої на відстані r 1 від заряду Q в точку, розташовану на відстані r 2, переміщається негативний заряд -q. Знайдіть приріст потенційної енергії заряду -q на цьому переміщенні.

За визначенням потенціал - це величина, що чисельно дорівнює потенційної енергії одиничного позитивного заряду в даній точці поля. Отже потенційна енергія заряду q 2:

11. Два однакових елемента з е.р.с. 1,2 В і внутрішнім опором 0,5 Ом з'єднані паралельно. Отримана батарея замкнута на зовнішній опір 3,5 Ом. Знайдіть силу струму в зовнішньому ланцюзі.

Відповідно до закону Ома для всього ланцюга сила струму в зовнішньому ланцюзі:

Де E` - ЕРС батареї елементів,

r` - внутрішній опір батареї, що дорівнює:

ЕРС батареї дорівнює сумі ЕРС трьох послідовно з'єднаних елементів:

отже:

12 В електричний ланцюг включені послідовно мідна і сталева дроту рівної довжини і діаметру. Знайдіть відношення кількостей тепла, що виділяється в цих дротах.

Розглянемо дріт довжиною L і діаметром d, виготовлену з матеріалу з питомим опір p. Опір дроту R можна знайти за формулою

Де s \u003d - площа поперечного перерізу дроту. При силі струму I за час t в провіднику виділяється кількість теплоти Q:

При цьому, падіння напруги на дроті одно:

Питомий опір міді:

p1 \u003d 0.017 мкОм * м \u003d 1.7 * 10 -8 Ом * м

питомий опір стали:

p2 \u003d 10 -7 Ом * м

так як дроту включені послідовно, то сили струму в них однакові і за час t в них виділяються кількості теплоти Q1 і Q2:

12. В однорідному магнітному полі знаходиться кругової виток зі струмом. Площина витка перпендикулярна силовим лініям поля. Доведіть, що результуюча сил, що діють з боку магнітного поля на контур, дорівнює нулю.

Так як кругової виток зі струмом знаходиться в однорідному магнітному полі, на нього діє сила Ампера. Відповідно до формули dF \u003d I результуюча амперова сила, що діє на виток зі струмом визначається:

Де інтегрування проводиться по даному контуру зі струмом I. Так як магнітне поле однорідне, то вектор В можна винести з-під інтеграла і завдання Свол до обчислення векторного інтеграла. Цей інтеграл представляє замкнутий ланцюжок елементарних векторів dL, тому він дорівнює нулю. Значить і F \u003d 0, тобто результуюча амперова сила дорівнює нулю в однорідному магнітному полі.

13. По короткій котушці, що містить 90 витків діаметром 3 см, йде струм. Напруженість магнітного поля, створеного струмом на осі котушки на відстані 3 см від неї дорівнює 40 А / м. Визначте силу струму в котушці.

Вважаючи, що магнітна індукція в точці А є суперпозиція магнітних індукції, що створюються кожним витком котушки окремо:

Для знаходження В витка скористаємося законом Біо-Савара-Лапласа.

Де, dBвітка - магнітна індукція поля, створювана елементом струму IDL в точці, яка визначається радіус-вектором r Виділимо на кінці елемент dL і від нього в точку А проведемо радіус-вектор r. Вектор dBвітка направимо у відповідність з правилом свердлика.

Згідно з принципом суперпозиції:

Де інтегрування ведеться по всіх елементах dLвітка. Розкладемо dBвітка на дві складові dBвітка (II) - паралельну площині кільця і \u200b\u200bdBвітка (I) - перпендикулярну площині кільця. тоді

Помітивши, що з міркувань симетрії і що вектори dBвітка (I) сонаправленнимі, замінимо векторне інтегрування скалярним:

Де dBвітка (I) \u003d dBвітка * cosb і

Оскільки dl перпендикулярний r

Скоротимо на 2p і замінимо cosb на R / r1

Висловимо звідси I знаючи що R \u003d D / 2

згідно з формулою зв'язує магнітну індукцію і напруженість магнітного поля:

тоді за теоремою Піфагора з креслення:

14. У однорідне магнітне поле в напрямку перпендикулярному силовим лініям влітає електрон зі швидкістю 10010 6 м / с і рухається по дузі кола радіусом 2,1 см. Знайдіть індукцію магнітного поля.

На електрон, що рухається в однорідному магнітному полі буде діяти сила Лоренца, перпендикулярна швидкості електрона і отже спрямована до центру кола:

Так як кут між v і І дорівнює 90 0:

Так як сила F л спрямована до центру кола, і електрон рухається по колу під дією цієї сили, то

Висловимо магнітну індукцію:

15. Квадратна рамка зі стороною 12 см, виготовлена \u200b\u200bз мідного дроту, поміщена в магнітне поле, магнітна індукція якого змінюється за законом В \u003d В 0 · Sin (ωt), де В 0 \u003d 0,01 Тл, ω \u003d 2 · π / Т і Т \u003d 0,02 с. Площина рамки перпендикулярна до напрямку магнітного поля. Знайдіть найбільше значення е.р.с. індукції, що виникає в рамці.

Площа квадратної рамки S \u003d \u200b\u200ba 2. Зміна магнітного потоку dj, при перпендикулярності площини рамки dj \u003d SdB

ЕРС індукції визначається

Е буде максимальна при cos (wt) \u003d 1

В однорідному електричному полі, сила, що діє на заряджену частинку, постійна як за величиною, так і за напрямком. Тому рух такої частки повністю аналогічно руху тіла в полі тяжіння землі без урахування опору повітря. Траєкторія частки в цьому випадку є плоскою, лежить в площині, що містить вектори початкової швидкості частки і напруженості електричного поля

Потенціал електростатичного поля. Загальна вираз, що зв'язує потенціал з напруженістю.

Потенціал φ в будь-якій точці електростатичного поля є фізична величина, яка визначається потенційною енергією одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку. Потенціал поля, створюваного точковим зарядом Q, дорівнює

Потенціал - фізична величина, яка визначається роботою по переміщенню одиничного позитивного електричного заряду при видаленні його з цієї точки поля у нескінченність. Ця робота чисельно дорівнює роботі, яку здійснюють зовнішні сили (проти сил електростатичного поля) по переміщенню одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.

Одиниця потенціалу - вольт (В): 1 В дорівнює потенціалу такої точки поля, в якій заряд в 1 Кл володіє потенційною енергією 1 Дж (1 В \u003d 1 Дж / Кл). З огляду на розмірність вольта, можна показати, що запроваджена раніше одиниця напруженості електростатичного поля дійсно дорівнює 1 В / м: 1 Н / Кл \u003d 1 Н м / (Кл м) \u003d 1 Дж / (Кл м) \u003d 1 В / м.

З формул (3) і (4) випливає, що якщо поле створюється декількома зарядами, то потенціал даного поля системи зарядів дорівнює сумі алгебри потенціалів полів всіх цих зарядів:

Напруженість в будь-якій точці електричного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з протилежним знаком. Знак «мінус» вказує, що напруженість E спрямована в бік зменшення потенціалу.

E \u003d - grad фі \u003d - N фі.

Для встановлення зв'язку між силовою характеристикою електричного поля - напруженістю і його енергетичної характеристикою - потенціалом розглянемо елементарну роботу сил електричного поля на нескінченно малому переміщенні точкового заряду q: dA \u003d q E dl, ця ж робота дорівнює убутку потенційної енергії заряду q: dA \u003d - dWп \u003d - q dфі, де d фі - зміна потенціалу електричного поля на довжині переміщення dl. Прирівнюючи праві частини виразів, отримуємо: E dl \u003d -d фі або в декартовій системі координат

Ex dx + Ey dy + Ez dz \u003d -d фі

де Ex, Ey, Ez - проекції вектора напруженості на осі системи координат. Оскільки вираз являє собою повний диференціал, то для проекцій вектора напруженості маємо

Що стоїть у дужках вираз є градієнтом потенціалу фі.

Принцип суперпозиції як фундаментальне властивість полів. Загальні вирази для напруженості і потенціалу поля, створюваного в точці з радіус-вектором системою точкових зарядів, що знаходяться в точках з координатами. (Див п.4)

Якщо розглянути принцип суперпозиції в найзагальнішому сенсі, то згідно з ним, сума впливу зовнішніх сил, що діють на частку, буде складатися з окремих значень кожної з них. Даний принцип застосовується до різних лінійним системам, тобто таким системам, поведінка яких можна описати лінійними співвідношеннями. Прикладом може послужити проста ситуація, коли лінійна хвиля поширюється в якійсь певній середовищі, в цьому випадку її властивості будуть зберігатися навіть під дією збурень, що виникають через саму хвилі. Ці властивості визначаються як конкретна сума ефектів кожної з гармонійних складових.

Принцип суперпозиції може приймати і інші формулювання, які повністю еквівалентні наведеної вище:

· Взаємодія між двома частинками не змінюється при внесенні третьої частки, також взаємодіє з першими двома.

· Енергія взаємодії всіх частинок в багаточастинкових системі є просто сума енергій парних взаємодій між усіма можливими парами частинок. В системі немає багаточасткових взаємодій.

· Рівняння, що описують поведінку Багаточасткові системи, є лінійними за кількістю частинок.

6 Циркуляцією вектора напруженості називається робота, яку здійснюють електричні сили при переміщенні одиничного позитивного заряду по замкнутому шляху L

Так як робота сил електростатичного поля по замкнутому контуру дорівнює нулю (робота сил потенційного поля), отже циркуляція напруженості електростатичного поля по замкнутому контуру дорівнює нулю.

Потенціал поля. Робота будь-якого електростатичного поля при переміщенні в ньому зарядженого тіла з однієї точки в іншу також не залежить від форми траєкторії, як і робота однорідного поля. На замкнутої траєкторії робота електростатичного поля завжди дорівнює нулю. Поля, що володіють такою властивістю, називають потенційними. Потенційний характер, зокрема, має електростатичне поле точкового заряду.
Роботу потенційного поля можна виразити через зміну потенційної енергії. Формула справедлива для будь-якого електростатичного поля.

7-11Еслі силові лінії однорідного електричного поля напруженістю пронизують деяку площадку S, то потік вектора напруженості (раніше ми називали число силових ліній через майданчик) буде визначатися формулою:

де En - твір вектора на нормаль до даної майданчику (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Повне число силових ліній, що проходять через поверхню S називається потоком вектора напруженості ФЕ через цю поверхню.

У векторній формі можна записати - скалярний добуток двох векторів, де вектор.

Таким чином, потік вектора є скаляр, який в залежності від величини кута α може бути як позитивним, так і негативним.

Розглянемо приклади, зображені на малюнках 2.6 і 2.7.

	Рис. 2.6	Рис. 2.7

Для малюнка 2.6 - поверхня А1 оточує позитивний заряд і потік тут спрямована назовні, тобто Поверхня А2 оточує негативний заряд, тут і спрямований всередину. Загальний потік через поверхню А дорівнює нулю.

Для малюнка 2.7 - потік буде не дорівнює нулю, якщо сумарний заряд всередині поверхні не дорівнює нулю. Для цієї конфігурації потік через поверхню А негативний (підрахуйте число силових ліній).

Таким чином, потік вектора напруженості залежить від заряду. У цьому сенс теореми Остроградського-Гаусса.

теорема Гаусса

Експериментально встановлені закон Кулона і принцип суперпозиції дозволяють повністю описати електростатичне поле заданої системи зарядів у вакуумі. Однак, властивості електростатичного поля можна виразити в іншій, більш загальній формі, не вдаючись до подання про кулонівському полі точкового заряду.

Введемо нову фізичну величину, що характеризує електричне поле - потік Φ вектора напруженості електричного поля. Нехай в просторі, де створено електричне поле, розташована деяка досить мала площадка ΔS. Твір модуля вектора на площу ΔS і на косинус кута α між вектором і нормаллю до майданчика називається елементарним потоком вектора напруженості через площадку ΔS (рис. 1.3.1):

Розглянемо тепер деяку довільну замкнуту поверхню S. Якщо розбити цю поверхню на малі майданчики ΔSi, визначити елементарні потоки ΔΦi поля через ці малі майданчики, а потім їх підсумувати, то в результаті ми отримаємо потік Φ вектора через замкнуту поверхню S (рис. 1.3.2 ):

Теорема Гаусса стверджує:

Потік вектора напруженості електростатичного поля через довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, розташованих усередині цієї поверхні, поділеній на електричну постійну ε0.

де R - радіус сфери. Потік Φ через сферичну поверхню буде дорівнює добутку E на площу сфери 4πR2. отже,

Оточимо тепер точковий заряд довільній замкнутої поверхнею S і розглянемо допоміжну сферу радіуса R0 (рис. 1.3.3).

Розглянемо конус з малим тілесним кутом ΔΩ при вершині. Цей конус виділить на сфері малу площадку ΔS0, а на поверхні S - майданчик ΔS. Елементарні потоки ΔΦ0 і ΔΦ через ці майданчики однакові. дійсно,

Аналогічним чином можна показати, що, якщо замкнута поверхня S не охоплюють точкового заряду q, то потік Φ \u003d 0. Такий випадок зображений на рис. 1.3.2. Всі силові лінії електричного поля точкового заряду пронизують замкнуту поверхню S наскрізь. Всередині поверхні S зарядів немає, тому в цій області силові лінії не обривати і не зароджуються.

Узагальнення теореми Гаусса на випадок довільного розподілу зарядів випливає з принципу суперпозиції. Поле будь-якого розподілу зарядів можна уявити як векторну суму електричних полів точкових зарядів. Потік Φ системи зарядів через довільну замкнуту поверхню S буде складатися з потоків Φi електричних полів окремих зарядів. Якщо заряд qi опинився всередині поверхні S, то він дає внесок в потік, рівний якщо ж цей заряд виявився зовні поверхні, то внесок його електричного поля в потік буде дорівнює нулю.

Таким чином, теорема Гаусса доведена.

Теорема Гаусса є наслідком закону Кулона і принципу суперпозиції. Але якщо прийняти твердження, що міститься в цій теоремі, за первісну аксіому, то її наслідком виявиться закон Кулона. Тому теорему Гаусса іноді називають альтернативної формулюванням закону Кулона.

Використовуючи теорему Гаусса, можна в ряді випадків легко обчислити напруженість електричного поля навколо зарядженого тіла, якщо заданий розподіл зарядів володіє якою-небудь симетрією і загальну структуру поля можна заздалегідь вгадати.

Прикладом може служити завдання про обчислення поля тонкостінного полого однорідно зарядженого довгого циліндра радіуса R. Це завдання має осьову симетрію. З міркувань симетрії електричне поле повинно бути направлено по радіусу. Тому для застосування теореми Гаусса доцільно вибрати замкнуту поверхню S у вигляді співвісного циліндра деякого радіуса r і довжини l, закритого з обох торців (рис. 1.3.4).

При r ≥ R весь потік вектора напруженості буде проходити через бічну поверхню циліндра, площа якої дорівнює 2πrl, так як потік через обидва підстави дорівнює нулю. Застосування теореми Гаусса дає:

Цей результат не залежить від радіуса R зарядженого циліндра, тому він застосовний і до поля довгою однорідно зарядженої нитки.

Для визначення напруженості поля всередині зарядженого циліндра потрібно побудувати замкнуту поверхню для випадку r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогічним чином можна застосувати теорему Гаусса для визначення електричного поля в ряді інших випадків, коли розподіл зарядів володіє якою-небудь симетрією, наприклад, симетрією щодо центру, площини або осі. У кожному з таких випадків потрібно вибирати замкнуту гауссову поверхню доцільної форми. Наприклад, в разі центральної симетрії гауссову поверхню зручно вибирати у вигляді сфери з центром в точці симетрії. При осьової симетрії замкнуту поверхню потрібно вибирати у вигляді співвісного циліндра, замкнутого з обох торців (як в розглянутому вище прикладі). Якщо розподіл зарядів не володіє будь-якої симетрією і загальну структуру електричного поля вгадати неможливо, застосування теореми Гаусса не може спростити завдання визначення напруженості поля.

Розглянемо ще один приклад симетричного розподілу зарядів - визначення поля рівномірно зарядженої площини (рис. 1.3.5).

В цьому випадку гауссову поверхню S доцільно вибрати у вигляді циліндра деякої довжини, закритого з обох торців. Ось циліндра спрямована перпендикулярно зарядженої площини, а його торці розташовані на однаковій відстані від неї. В силу симетрії поле рівномірно зарядженої площини має бути всюди направлено по нормалі. Застосування теореми Гаусса дає:

де σ - поверхнева щільність заряду, т. е. заряд, що припадає на одиницю площі.

Отриманий вираз для електричного поля однорідно зарядженої площини можна застосувати і в разі плоских заряджених майданчиків кінцевого розміру. У цьому випадку відстань від точки, в якій визначається напруженість поля, до зарядженої майданчика повинно бути значно менше розмірів майданчика.

І графіки до 7 - 11

1. Напруженість електростатичного поля, створюваного рівномірно зарядженої сферичної поверхнею.

Нехай сферична поверхня радіуса R (рис. 13.7) несе на собі рівномірно розподілений заряд q, тобто поверхнева щільність заряду в будь-якій точці сфери буде однакова.

a. Укладемо нашу сферичну поверхню в симетричну поверхню S з радіусом r\u003e R. Потік вектора напруженості через поверхню S буде дорівнює

По теоремі Гаусса

отже

c. Проведемо через точку В, що знаходиться всередині зарядженої сферичної поверхні, сферу S радіусом г

2. Електричне поле кулі.

Нехай маємо кулю радіуса R, рівномірно заряджений з об'ємною густиною.

У будь-якій точці А, що лежить поза кулі на відстані r від його центру (r\u003e R), його поле аналогічно полю точкового заряду, розташованого в центрі кулі. Тоді поза кулі

(13.10)

а на його поверхні (r \u003d R)

(13.11)

У точці В, що лежить всередині кулі на відстаней r від його центру (r\u003e R), поле визначається лише зарядом, закритим усередині сфери радіусом r. Потік вектора напруженості через цю сферу дорівнює

з іншого боку, відповідно до теореми Гаусса

По теоремі Гаусса

З останніх двох виразів визначаємо напруженість поля, створюваного рівномірно зарядженої ниткою:

(13.13)

Нехай площину має нескінченну протяжність і заряд на одиницю площі дорівнює σ. Із законів симетрії випливає, що поле направлено всюди перпендикулярно площині, і якщо не існує ніяких інших зовнішніх зарядів, то поля по обидва боки площини повинні бути однакові. Обмежимо частина зарядженої площини уявним циліндричним ящиком, таким чином, щоб ящик розсікає навпіл і його утворюють були перпендикулярні, а дві підстави, які мають площу S кожне, паралельні зарядженої площини (рис 1.10).

12. Поле рівномірно зарядженої сфери.

Нехай електричне поле створюється зарядом Q, Рівномірно розподіленим по поверхні сфери радіуса R (Рис. 190). Для обчислення потенціалу поля в довільній точці, що знаходиться на відстані r від центру сфери, необхідно обчислити роботу, що здійснюються полем при переміщенні одиничного позитивного заряду від даної точки до нескінченності. Раніше ми довели, що напруженість поля рівномірно зарядженої сфери поза нею еквівалентно полю точкового заряду, розташованого в центрі сфери. Отже, поза сферою потенціал поля сфери буде збігатися з потенціалом поля точкового заряду

φ (r)=Q4πε 0r . (1)

Зокрема, на поверхні сфери потенціал дорівнює φ 0=Q4πε 0R . Усередині сфери електростатичне поле відсутнє, тому робота по переміщенню заряду з довільної точки, що знаходиться всередині сфери, на її поверхню дорівнює нулю A \u003d 0, тому і різниця потенціалів між цими точками також дорівнює нулю Δ φ = -A \u003d 0. Отже, всі точки всередині сфери мають один і той же потенціал, що співпадає з потенціалом її поверхні φ 0=Q4πε 0R .

Отже, розподіл потенціалу поля рівномірно зарядженої сфери має вигляд (Рис. 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q4πε 0R, npu r<RQ4πε 0r, npu r>R . (2)

Зверніть увагу, поле всередині сфери відсутня, а потенціал відмінний від нуля! Цей приклад є яскравою ілюстрацією, того, що потенціал визначається значенням поля від даної точки до нескінченності.

Для розрахунку полів, створених зарядами, які рівномірно розподілені по сферичним, циліндричним або плоских поверхонь, застосовують теорему Остроградського - Гаусса (розділ 2.2).

Методика розрахунку полів за допомогою теореми

Остроградського - Гаусса.

1) Вибираємо довільну замкнуту поверхню, що охоплює заряджене тіло.

2) Обчислюємо потік вектора напруженості крізь цю поверхню.

3) Обчислюємо сумарний заряд, охоплений цією поверхнею.

4) Підставляємо в теорему Гаусса обчислені величини і висловлюємо напруженість електростатичного поля.

Приклади розрахунку деяких полів

Поле рівномірно зарядженого нескінченного циліндра (нитки).

Нехай нескінченний циліндр радіусом R рівномірно заряджений з лінійною густиною заряду + τ (Рис. 16).

З міркувань симетрії випливає, що лінії напруженості поля в будь-якій точці будуть спрямовані уздовж радіальних прямих, перпендикулярних осі циліндра.

Як замкнутої поверхні виберемо коаксіальний з даними (із загальною віссю симетрії) циліндр радіусом r і висотою ℓ .

Розрахуємо потік вектора через дану поверхню:

,

де S осн , S пліч - площі підстав і бічної поверхні.

Потік вектора напруженості крізь площі підстав дорівнює нулю, тому

Сумарний заряд, що охоплюється обраної поверхнею:

.

Підставивши все в теорему Гаусса, з урахуванням того, що ε \u003d 1, отримаємо:

.

Напруженість електростатичного поля, створеного нескінченно довгим рівномірно зарядженим циліндром або нескінченно довгою рівномірно зарядженою ниткою в точках, розташованих поза її:

, (2.5)

де r - відстань від осі циліндра до заданої точки ( r ≥ R );

τ - лінійна щільністю заряду .

якщо r < R , То розглянута замкнута поверхня зарядів всередині не містить, тому в цій області Е \u003d 0, т. Е. всередині циліндра, поля немає .

Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини

П усть нескінченна площина заряджена з постійною поверхневою щільністю + σ .

Як замкнутої поверхні виберемо циліндр, підстави якого паралельні зарядженої площини, а вісь перпендикулярна їй (рис. 17). Так як лінії, що утворюють бічну поверхню циліндра, паралельні лініям напруженості, то потік вектора напруженості крізь бічну поверхню дорівнює нулю. Потік вектора напруженості крізь дві площі підстави

.

Сумарний заряд, що охоплюється обраної поверхнею:

.

Підставивши все в теорему Гаусса, отримаємо:

Напруженість електростатичного поля нескінченної рівномірно зарядженої площини

. (2.6)

З цієї формули випливає, що Е не залежить від довжини циліндра, тобто напруженість поля однакова у всіх точках. Іншими словами, поле рівномірно зарядженої площини однорідно.

Поле двох нескінченних паралельних

різнойменно заряджених площин

П усть площині рівномірно заряджені з однаковими за величиною поверхневими плотностями + σ і - σ (Рис. 18).

Згідно з принципом суперпозиції,

.

З малюнка видно, що в області між площинами силові лінії сонаправлени, тому результуюча напруженість

. (2.7)

Поза об'єму, обмеженого площинами, що складаються поля мають протилежні напрямки, так що результуюча напруженість дорівнює нулю.

Таким чином, поле виявляється зосередженим між площинами. Отриманий результат приблизно справедливий і для площин кінцевих розмірів, якщо відстань між площинами багато менше їх площі (плоский конденсатор).

Якщо на площинах розподілені заряди одного знака з однаковою поверхневою щільністю, то поле відсутнє між пластинами, а поза пластин обчислюється за формулою (2.7).

напруженість поля

рівномірно зарядженої сфери

Поле, створюване сферичною поверхнею радіуса R , Зарядженої з поверхневою щільністю заряду σ , Буде центрально симетричним, тому лінії напруженості спрямовані уздовж радіусів сфери (рис. 19, а).

Як замкнутої поверхні виберемо сферу радіуса r , Що має загальний центр із зарядженою сферою.

якщо r > R , То всередину поверхні потрапляє весь заряд Q .

Потік вектора напруженості крізь поверхню сфери

Підставивши цей вираз в теорему Гаусса, отримаємо:

.

Напруженість електростатичного поля поза рівномірно зарядженої сфери:

, (2.8)

де r - відстань від центру сфери.

Звідси видно, що поле тотожно з полем точкового заряду тієї ж величини, поміщеного в центр сфери.

якщо r < R , То замкнута поверхня не містить усередині зарядів, тому всередині зарядженої сфери поле відсутнє (Рис.19, б).

Напруженість поля об'ємно

зарядженого кулі

П усть куля радіуса R заряджений з постійною об'ємною щільністю заряду ρ .

Поле в цьому випадку має центральну симетрію. Для напруженості поля поза кулі виходить той же результат, що і в разі поверхнево зарядженої сфери (2.8).

Для точок всередині кулі напруженість буде інша (рис. 20). Сферична поверхня охоплює заряд

Тому, відповідно до теореми Гаусса

Враховуючи що
, Отримаємо:

Напруженість електростатичного поля, всередині об'ємно зарядженої кулі

(r ≤ R ). (2.9)

.

завдання 2.3 . В поле нескінченно довгою площині з поверхневою щільністю заряду σ підвішений на нитці маленький кулька масою m , Який має заряд того ж знака, що і площину. Знайти заряд кульки, якщо нитка утворює з вертикаллю кут α

Рішення. Повернемося до розбору рішення задачі 1.4. Різниця полягає в тому, що в завданні 1.4 сила
обчислюється за законом Кулона (1.2), а в завданні 2.3 - з визначення напруженості електростатичного поля (2.1)
. Напруженість електростатичного поля нескінченної рівномірно зарядженої площини виведена з використанням теореми Остроградського-Гаусса (2.4).

П оле площині однорідний і не залежить від відстані до площини. З рис. 21:

.

 Зверніть увагу , Що для знаходження сили, що діє на заряд, поміщений в поле розподіленого заряду, необхідно використовувати формулу

,

а напруженість поля, створеного декількома розподіленими зарядами, знаходити за принципом суперпозиції. Тому наступні завдання присвячені перебуванню напруженості електростатичного поля розподілених зарядів з використанням теореми Остроградського-Гаусса.

Завдання 2.4. Випередити напруженість поля всередині і поза рівномірно зарядженої пластинки товщиною d , Об'ємна щільність заряду всередині пластинки ρ . Побудувати графік залежності Е (х ).

Рішення. Початок координат помістимо в середній площині пластинки, а вісь ОХ направимо перпендикулярно до неї (рис. 22, а). Застосуємо теорему Остроградського-Гаусса для розрахунку напруженості електростатичного поля зарядженої нескінченної площини, тоді

.

З визначення об'ємної щільності заряду

,

тоді для напруженості отримаємо

.

Звідси видно, що поле всередині пластинки залежить від х . Поле поза пластинки розраховується аналогічно:

Звідси видно, що поле поза пластинки є однорідним. Графік залежності напруженості Е від х на рис. 22, б.

Завдання 2.5. Поле створено двома нескінченно довгими нитками, зарядженими з лінійними плотностями зарядів – τ 1 і + τ 2 . Нитки розташовані перпендикулярно один одному (рис. 23). Знайти напруженість поля в точці, що знаходиться на відстані r 1 і r 2 від ниток.

Р ешеніем. Покажемо на малюнку напруженість поля, створеного кожної ниткою окремо. вектор направлений до першій нитки, так як вона заряджена негативно. вектор направлений від другої нитки, так як вона заряджена позитивно. вектори і взаємно перпендикулярні, тому результуючий вектор буде гіпотенузою прямокутного трикутника. модулі векторів і визначаються за формулою (2.5).

За принципом суперпозиції

.

По теоремі Піфагора

завдання 2.6 . Поле створено двома зарядженими нескінченно довгими порожніми коаксіальними циліндрами радіусами R 1 і R 2 > R 1 . Поверхневі щільності зарядів рівні – σ 1 і + σ 2 . Знайти напруженість електростатичного поля в наступних точках:

а) точка А розташована на відстані d 1 < R 1 ;

б) точка В розташована на відстані R 1 < d 2 < R 2 ;

в) точка З розташована на відстані d 3 > R 1 > R 2 .

Відстані відраховуються від осі циліндрів.

Рішення. Коаксіальні циліндри - це циліндри, які мають загальну вісь симетрії. Зробимо малюнок і покажемо на ньому точки (рис. 24).

Е А = 0.

точка, крапка В розташована всередині бóльшего циліндра, тому в цій точці поле створюється тільки меншим циліндром:

.

Висловимо лінійну щільність заряду через поверхневу щільність заряду. Для цього скористаємося формулами (1.4) і (1.5), з яких висловимо заряд:

Прирівняємо праві частини і отримаємо:

,

де S 1 - площа поверхні першого циліндра.

З урахуванням того що
, Остаточно отримаємо:

точка, крапка З розташована зовні обох циліндрів, тому поле створюється обома циліндрами. За принципом суперпозиції:

.

З урахуванням напрямків і розрахунків, отриманих вище, отримаємо:

.

завдання 2.7 . Поле створено двома зарядженими нескінченно довгими паралельними площинами. Поверхневі щільності зарядів рівні σ 1 і σ 2 > σ 1 . Знайти напруженість електростатичного поля в точках, що знаходяться між пластинами і поза пластин. Вирішити завдання для двох випадків:

а) пластини однойменно заряджені;

б) пластини різнойменно заряджені.

Рішення. У векторному вигляді напруженість результуючого поля в будь-якому випадку записується однаково. Згідно з принципом суперпозиції:

.

модулі векторів і обчислюються за формулою (2.6).

а) Якщо площини заряджені однойменно, то між площинами напруженості спрямовані в різні боки (рис. 26, а). Модуль результуючої напруженості

Поза площин напруженості і спрямовані в одну сторону. Так як поле нескінченних заряджених площин однорідно, тобто не залежить від відстані до площин, то в будь-якій точці і зліва і праворуч від площин поле буде однаково:

.

б) Якщо площини заряджені різнойменно, то, навпаки, між площинами напруженості спрямовані в одну сторону (рис. 26, б), а поза площин - в різні.

Приклад 1. Тонка, нескінченно довга нитка заряджена однорідно з лінійною густиною заряду λ . Знайти напруженість електростатичного поля Е(r) На якій відстані r від нитки.

Зробимо малюнок:

аналіз:

Оскільки нитка несе не точковий заряд, застосуємо метод ДІ. Виділимо нескінченно малий елемент довжини провідника dl, Який буде містити заряд dq=dlλ. Розрахуємо напруженість поля, створеного кожним елементом провідника в довільній точці А, що знаходиться від нитки на відстані а. Вектор буде спрямований вздовж прямої, що з'єднує точковий заряд з точкою спостереження. Результуюче поле отримаємо по нормалі до нитки уздовж осі х. Необхідно знайти величину dE x: dE x \u003ddEcosα. .

За визначенням:

.

величина dl, r, Змінюються узгоджено при зміні положення елемента dl. Висловимо їх через величину α:

де dα - нескінченно малий приріст кута α в результаті повороту радіуса-вектора щодо точки А при переміщенні по нитці на dl. тоді dl \u003dr 2 dα / а. при переміщенні dl від до точки О кут змінюється від 0 0 до π / 2.

отже .

Перевірка розмірності: [Е] \u003d В / м \u003d кгм / МФМ \u003d КЛВ / км \u003d В / м;

відповідь:.

Спосіб 2.

В силу аксиальной симетрії розподілу заряду, всі крапки, розташовані на рівній відстані від нитки, еквівалентні і напруженість поля в них однакова, т. Е. Е(r) \u003d Const, де r- відстань від точки спостереження до нитки. напрямок Е в цих точках завжди збігається з напрямком нормалі до нитки. По теоремі Гаусса; де Q-заряд, охоплений поверхнею - S 'через яку обчислюється потік, виберемо у вигляді циліндра радіусом а і утворює з ниткою. З огляду на, що нормальний бічної поверхні циліндра, одержимо для потоку:

Т. к. Е\u003d Const.

S бок.пов. \u003d на2π .

З іншого боку Е2πаН \u003d Q / ε 0 ,

де λН \u003d q.

відповідь:Е=λ /4πε 0 а.

приклад 2 . Розрахувати напруженість рівномірно зарядженої нескінченної площини з поверхневою щільністю зарядів σ .

Лінії напруженості перпендикулярні і спрямовані в обидва боки від площини. Як замкнутої поверхні виберемо поверхню циліндра, підстави якого паралельні площині, а вісь циліндра перпендикулярна площині. Оскільки утворюють циліндра паралельні лініям напруженості (α \u003d 0, cos α \u003d 1 ), то потік вектора напруженості крізь бічну поверхню дорівнює нулю, а повний потік крізь замкнуту циліндричну поверхню дорівнює сумі потоків крізь його підставу. Заряд, укладений всередині замкнутої поверхні дорівнює σ S осн. , Тоді:

Ф Е \u003d 2 ЕS осн або Ф Е \u003d \u003d, тоді E \u003d \u003d

відповідь:E \u003d, не залежить від довжини циліндра і на будь-яких відстанях від площини однакова по модулю. Поле рівномірно зарядженої площини однорідне.

приклад 3 . Розрахувати поле двох нескінченно заряджених площин, з поверхневою щільністю + σ і -σ відповідно.

E \u003d E \u003d 0; E \u003d E + + E - \u003d.

відповідь: Результуюча напруженість поля в області між площинами дорівнює E \u003d, а поза об'ємом, обмеженого площинами дорівнює нулю.

приклад 4 . Розрахувати напруженість поля рівномірно зарядженої з поверхневою щільністю заряду + σ сферичної поверхні радіуса R.

Те, і,

якщо r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

відповідь:.

приклад 5 . Розрахувати напруженість об'ємно зарядженої з об'ємною щільністю ρ , Кулі радіусів R.

У вигляді замкнутої поверхні візьмемо сферу.

якщо r ≥R , То \u003d 4πr 2 E; E \u003d

якщо r< R , то сфера радиусом r, Охоплює заряд q "рівний q" \u003d (так як заряди відносяться як обсяги, а обсяги, як куби радіусів)

Тоді по т.Гаусса

відповідь:; всередині рівномірно зарядженої кулі напруженість зростає лінійно з відстанню rвід його центру, а поза - зменшується обернено пропорційно r 2 .

Приклад № 6 . Розрахувати напруженість поля нескінченного, круглого циліндра, зарядженого з лінійною густиною заряду λ , радіуса R.

Потік вектора напруженості крізь торці циліндра дорівнює 0, а крізь бокову поверхню:

Оскільки , Або,

тоді (Якщо r\u003e R)

якщо λ\u003e 0, Е\u003e 0, вектор Ē спрямований від циліндра,

якщо λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

якщо r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

відповідь: (R\u003e R); E \u003d 0 (R\u003e r). Усередині рівномірно зарядженого по поверхні нескінченного, круглого циліндра, поля немає.

приклад 7 . Електричне поле створено двома нескінченно довгими паралельними площинами з поверхневими площинами зарядів 2 нКл / м 2 і 4нКл / м 2. Визначити напруженість поля в областях І, ІІ, ІІІ. Побудувати графік залежності Ē (r) .

Площині ділять простір на 3 області

Напрямок Ē результуючого поля в бік більшого.

У проекції на r:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

Графік Ē (r)

Вибір масштабу: Е 2 =2 Е 1

Е 1 \u003d 1; Е 2 \u003d 2

відповідь:Е І \u003d -345 В / м; Е І I \u003d -172 В / м; Е І II \u003d 345 В / м.

Приклад № 8 . Ебонітовий суцільний шар радіусом R \u003d 5 см несе заряд, рівномірно розподілений з об'ємною щільністю ρ \u003d 10 нКл / м 3. Визначити напруженість електричного поля в точках: 1) на відстані r 1 \u003d 3 см від центра сфери; 2) на поверхні сфери; 3) на відстані r 2 \u003d 10 см від центра сфери.