Graphiques de fonctions et de leurs formules et noms. Fonctions élémentaires de base : leur puissance et leur graphisme. Fonction pied avec affichage positif mâle

Zannanya fonctions élémentaires de base, leurs pouvoirs et horaires Il n'est pas moins important de connaître la table de multiplication. Ils puent comme une fondation, tout repose sur eux, tout sera construit sur eux et tout se réduira à eux.

Dans cet article nous reconsidérons toutes les fonctions élémentaires de base, nous dessinons leurs graphiques et sans aucune preuve puissance des fonctions élémentaires de base derrière le schéma :

comportement de la fonction aux limites de la région de valeur, asymptote verticale (si nécessaire, voir la classification du point de la fonction) ;
appairage et dissociation ;
intervalles de convexité (convexité vers le haut) et de convexité (convexité vers le bas), points de renflement (si nécessaire, observer la fonction de renflement, renflement droit, point de renflement, renflement cervical et renflement) ;
asymptotes éliminées et horizontales ;
points particuliers de fonctions;
puissance particulière des fonctions actives (par exemple, la période la moins positive des fonctions trigonométriques).

Si vous le souhaitez, vous pouvez passer à plusieurs sections de la théorie.

Fonctions élémentaires de baseє : fonction stationnaire (constante), racine du nième étage, fonction statique, affichage, fonction logarithmique, trigonométrique et retour fonctions trigonométriques.

Navigation sur la page.

Fonction stationnaire.

Une fonction constante est spécifiée sur la multiplicité de tous les nombres réels par la formule , où C est un nombre réel. La fonction constante est de faire correspondre la valeur de l'action cutanée de la variable indépendante x avec la même valeur de la variable permanente y – la valeur C. Une fonction constante est appelée constante.

Le graphique d'une fonction stationnaire est une droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0,C). Par exemple, montrons les graphiques des fonctions stationnaires y=5, y=-2 et, dont le petit placé en dessous montre le noir, le rouge et le bleu en ligne droite.

La puissance de la fonction stationnaire.

Aire significative : toutes les multiplicités de nombres réels.
La fonction constante est appariée.
Zone de sens : dénuée de sens, qui consiste en le même S.
La fonction stationnaire est non croissante et non-stop (pour le moment elle est stationnaire).
Parler du renflement et de la courbure du corps n’a aucun sens.
Il n'y a pas d'asymptote.
La fonction est de passer par le point du plan de coordonnées (0,C).

Racine du nième degré.

Regardons la fonction élémentaire de base, qui est donnée par la formule où n est un nombre naturel supérieur à un.

Racine du nième degré, n est un nombre.

Utilisons maintenant la nième fonction racine pour des valeurs égales du nième indicateur racine.

Pour les fesses, regardons les plus petits à partir des images de graphes de fonctions Et ils sont représentés par des lignes noires, rouges et bleues.

Les graphiques des fonctions des racines d'un pas apparié pour d'autres valeurs de l'indicateur montrent une apparence similaire.

La puissance de la fonction est la racine du nième degré avec les gars n.

Racine du nième degré, n est un nombre impair.

La nième fonction racine avec un index non apparié de la nième racine est attribuée au nombre entier de nombres réels. Pour le cul, créons des graphiques de fonctions Et elles ressemblent à des courbes noires, rouges et bleues.

Pour les autres valeurs non appariées de l'indicateur racine, le graphique de la fonction aura une apparence similaire.

La puissance de la fonction est la racine du nième degré pour n non apparié.

Fonction étape.

Fonction étape est donné par la formule.

Jetons un coup d'œil au graphique de la fonction statique et à la puissance de la fonction statique en fonction de la valeur de l'indicateur de pas.

Complètement avec des fonctions statiques avec l'ensemble de l'indicateur a. Dans ce cas, le type de graphiques de fonctions statiques et de fonctions de puissance réside dans l'appariement et le désappariement de l'indicateur de l'étape, ainsi que du signe. Par conséquent, regardons d'abord les fonctions statiques pour les valeurs positives non appariées de l'indicateur a, puis pour les mêmes valeurs positives, puis pour les indicateurs négatifs non appariés de l'étape, i, puis pour le même a négatif.

La puissance des fonctions statiques avec des indicateurs de tir et irrationnels (ainsi que le type de graphiques de telles fonctions statiques) réside dans la valeur de l'indicateur a. On les voit, d'abord, quand a va de zéro à un, d'une autre manière, quand un plus grand, dans la troisième, quand a va de moins un à zéro, dans une quatrième, avec un plus petit moins un.

Enfin, pour compléter le tableau, décrivons une fonction statique avec un exposant nul.

Fonction étape avec affichage positif non apparié.

Jetons un coup d'œil à la fonction statique avec un indicateur de pas positif non apparié, puis pour a = 1,3,5, ....

Sur le bébé ci-dessous se trouvent des graphiques de fonctions statiques - ligne noire, - ligne bleue, - ligne rouge, - ligne verte. Quand a=1 maєmo fonction linéaire y=x.

La puissance d'une fonction statique avec un affichage positif non apparié.

Fonction étape avec affichage positif d'un gars.

Jetons un coup d'œil à la fonction statique avec un petit indicateur de pas positif, puis à a = 2,4,6,….

À titre d’exemple, dessinons des graphiques de fonctions statiques – ligne noire, – ligne bleue, – ligne rouge. Lorsque a = 2 on peut utiliser une fonction quadratique dont le graphique est parabole quadratique.

La puissance de la fonction statique avec l'affichage positif d'un homme.

Fonction étape avec affichage négatif non apparié.

Émerveillez-vous devant les graphiques de la fonction statique pour les valeurs négatives non appariées de l'indicateur de pas, puis, pour a = -1, -3, -5,….

Le petit montre des graphiques de fonctions statiques – ligne noire, – ligne bleue, – ligne rouge, – ligne verte. Quand a=-1 maєmo proportionnalité du portail, dont le calendrier hyperbole.

La puissance d’une fonction statique avec un affichage négatif non apparié.

Fonction étape avec affichage négatif d'un gars.

Passons à la fonction statique avec a = -2, -4, -6,….

La petite image montre des graphiques de fonctions statiques – ligne noire, – ligne bleue, – ligne rouge.

La puissance de la fonction statique avec l'affichage négatif d'un homme.

Une fonction échelonnée avec un indicateur rationnel ou irrationnel dont la valeur est supérieure à zéro et inférieure à un.

Augmentez votre respect! Puisque a est un ami positif avec un signe non apparié, les auteurs respectent la zone de signification de l'intervalle de fonction statique. Dont la compréhension est que l'indicateur de l'étape a est un plan court. Dans le même temps, les auteurs de manuels riches sur l'algèbre et l'analyse en torchis NE VALENTENT PAS les fonctions statiques avec un indicateur sous la forme d'une fraction avec un signe impair pour les valeurs négatives de l'argument. Nous nous efforcerons d'atteindre ce point de vue nous-mêmes, car nous sommes importants dans les domaines d'importance des fonctions statiques avec des indicateurs positifs de fusil de chasse du stade impersonnel. Il est recommandé aux étudiants d'examiner l'orientation de votre investissement sur ce point subtil afin d'éliminer les écarts.

Jetons un coup d'œil à la fonction statique avec des indicateurs rationnels et irrationnels.

Traçons des graphiques de fonctions d'empilement pour a=11/12 (ligne noire), a=5/7 (ligne rouge), (ligne bleue), a=2/5 (ligne verte).

Fonction échelonnée avec un indicateur non rationnel et irrationnel supérieur à un.

Jetons un coup d'œil à la fonction statique avec des indicateurs rationnels et irrationnels non intrusifs.

Traçons des graphiques de fonctions statiques spécifiées par des formules (les lignes noires, rouges, bleues et vertes sont cohérentes).

Avec d'autres valeurs de l'indicateur, l'étape a des graphiques de fonctions aura une apparence similaire.

La puissance de la fonction statique à .

Une fonction échelonnée avec un indicateur actif, qui est supérieur pour moins un et inférieur pour zéro.

Augmentez votre respect! Puisque a est un mot négatif avec un signe impair, les auteurs respectent la zone de signification de l'intervalle de fonction statique . Dont la compréhension est que l'indicateur de l'étape a est un plan court. Dans le même temps, les auteurs de manuels riches sur l'algèbre et l'analyse en torchis NE VALENTENT PAS les fonctions statiques avec un indicateur sous la forme d'une fraction avec un signe impair pour les valeurs négatives de l'argument. Nous pensons que c'est la chose la plus importante dans les domaines d'importance des fonctions statiques par rapport aux indicateurs négatifs du stade de neutralité. Il est recommandé aux étudiants d'examiner l'orientation de votre investissement sur ce point subtil afin d'éliminer les écarts.

Passons à la fonction statique, au destin.

Pour mieux imaginer le type de graphiques de fonctions statiques lors de l'application de graphiques de fonctions (noir, rouge, bleu et vert de travers).

La puissance de la fonction statique avec l'indicateur a, .

Une fonction de pied avec un indicateur actif incomplet, qui est inférieur à un.

Regardons l'application des graphiques de fonctions statiques lorsque , ils sont représentés par des lignes noires, rouges, bleues et vertes.

La puissance d'une fonction statique avec un indicateur négatif inférieur à moins un.

Lorsque a = 0, nous pouvons utiliser la fonction - directement car le point (0;1) est désactivé (l'expression 0 0 n'a pas la même valeur).

Fonction d'affichage.

L'une des principales fonctions élémentaires est la fonction d'affichage.

Calendrier fonctions d'affichage où ça mène look différent au lieu du sens de la base a. Mettons-nous dans le pétrin.

Voyons d'abord si la base de la fonction d'affichage accumule des valeurs de zéro à un, alors .

Par exemple, traçons un graphique de la fonction d’affichage pour a = 1/2 – ligne bleue, a = 5/6 – ligne rouge. Les graphiques de la fonction d'affichage d'autres valeurs sur une base d'intervalle ont une apparence similaire.

La puissance de la fonction d'affichage est basée sur la plus petite unité.

Nous procédons à la conclusion, si la base de la fonction d'affichage est supérieure à un, alors .

A titre d'illustration, nous dessinons des graphiques des fonctions d'affichage - ligne bleue et ligne rouge. Avec d'autres valeurs des unités de base, élevées, les graphiques de la fonction d'affichage ont une apparence similaire.

La puissance de la fonction d'affichage est basée sur la grande unité.

Fonction logarithmique.

La fonction élémentaire de base suivante est la fonction logarithmique de, . La fonction logarithmique est affectée aux valeurs positives de l'argument, alors, quand .

Calendrier fonction logarithmique prend une apparence différente selon la valeur de la base.

Ce n'est pas grave si vous ne le faites pas.

Par exemple, traçons des graphiques de la fonction logarithmique avec a = 1/2 – ligne bleue, a = 5/6 – ligne rouge. Avec d'autres valeurs de l'indice, sans dépasser les unités, les graphiques de la fonction logarithmique auront une apparence similaire.

La puissance de la fonction logarithmique à partir de la base de la moindre unité.

Passons à la chute si la base de la fonction logarithmique est supérieure à un ().

Montrons des graphiques de fonctions logarithmiques - ligne bleue - ligne rouge. Pour les autres valeurs de la base, unités élevées, les graphiques de la fonction logarithmique ont une apparence similaire.

La puissance d’une fonction logarithmique basée sur une grande unité.

Fonctions trigonométriques, leurs puissances et graphiques.

Toutes les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente et cotangente) sont réduites à des fonctions élémentaires de base. Examinons maintenant leurs graphiques et passons en revue leurs caractéristiques.

Les fonctions trigonométriques sont compréhensibles fréquence(répétition de la valeur de la fonction avec différentes valeurs de l'argument, en substituant un type à la valeur du point de T - période), à la liste des puissances des fonctions trigonométriques ajouter un élément "période la moins positive". Aussi, pour chaque fonction trigonométrique, on indique la valeur de l'argument pour lequel la fonction correspondante tend vers zéro.

Examinons maintenant toutes les fonctions trigonométriques dans l'ordre.

Fonction sinus y = sin (x).

Il est possible d'imaginer un graphique de la fonction sinusoïdale, appelé sinusoïde.

La puissance de la fonction sinus est y = sinx.

Fonction cosinus y = cos(x).

Le graphique de la fonction cosinus (appelée « cosinus ») ressemble à ceci :

Fonction puissance cosinus y = cosx.

Fonction tangente y = tan (x).

Le graphique de la fonction tangente (appelée « tangente ») ressemble à ceci :

La puissance de la fonction est tangente y = tgx.

Fonction cotangente y = ctg (x).

Le graphe de la fonction cotangente (appelée « cotangentoïde ») est imaginable :

Fonction puissance cotangente y = ctgx.

Renvoie les fonctions trigonométriques, leurs puissances et leurs graphiques.

Les fonctions trigonométriques inverses (arc sinus, arc cosinus, arc tangente et arc cotangente) sont des fonctions élémentaires de base. Souvent, grâce au préfixe « arc », les fonctions trigonométriques inverses sont appelées fonctions d'arc. Examinons maintenant leurs graphiques et passons en revue leurs caractéristiques.

Fonction arcsinus y = arcsin(x).

Le graphique de la fonction arcsinus est imaginable :

Fonction puissance arccotangente y = arcctg(x).

Liste de littérature.

Kolmogorov A.M., Abramov A.M., Dudnitsin Yu.P. et Algèbre et début de l'analyse : Beg. pour les classes 10-11. installations d'éclairage de fond.
Vigodsky M.Ya. Conseiller en mathématiques élémentaires.
Novosyolov S.I. Algèbre et fonctions élémentaires.
Toumanov S.I. Algèbre élémentaire. Un manuel pour l'auto-illumination.

Utilisez la fonction

Nous vous présentons le service à triple fonctions graphiques en ligne, tous droits réservés par la société Desmos. Pour saisir une fonction, utilisez la colonne de gauche. Vous pouvez le saisir manuellement ou utiliser le clavier virtuel en bas de la fenêtre. Pour améliorer la vue avec le graphique, vous pouvez ajouter à la fois la colonne de gauche et le clavier virtuel.

Avantages des horaires journaliers en ligne

Représentation visuelle des fonctions à introduire
Pobudova a même plié les graphiques
Horaires Pobudova, tâches implicitement (par exemple, el_ps x^2/9+y^2/16=1)
La possibilité d'enregistrer des graphiques et d'y publier des messages, les rendant ainsi accessibles à tous sur Internet.
Contrôler l'échelle et la couleur des lignes
Possibilité de graphiques hebdomadaires derrière les points, constantes de victoire
Appeler plusieurs fonctions graphiques en même temps
Graphiques Pobudova dans le système de coordonnées polaires (Vikorist r et θ(\theta))

Nous pouvons facilement vous fournir en ligne des graphiques de complexité variable. Pobudova se perd à Mitvo. Service de demande pour trouver le point de transfert des fonctions, des images de graphiques pour leur déplacement ultérieur dans un document Word comme illustration de la tâche en cours, pour analyser les caractéristiques comportementales des graphiques de fonctions. Le navigateur optimal pour travailler avec des graphiques sur cette page Google Chrome. Dans le cas d'autres navigateurs, l'exactitude du robot n'est pas garantie.

Les fonctions élémentaires de base, leurs composants associés et les graphiques associés constituent l'une des bases de la connaissance mathématique, d'une importance similaire à la table de multiplication. Les fonctions élémentaires sont la base et le support du développement de toute nutrition théorique.

L'article ci-dessous fournit des éléments clés sur le thème des fonctions élémentaires de base. Nous avons introduit des termes, nous leur avons donné un sens ; Nous voyons clairement les fonctions de base de la peau, et regardons leur pouvoir.

Les types suivants de fonctions élémentaires de base sont visibles :

Viznachennya 1

fonction constante (constante);
racine du nième degré ;
fonction statique ;
fonction d'affichage;
fonction logarithmique ;
fonctions trigonométriques;
fonctions trigonométriques frères.

Une fonction constante est exprimée par la formule : y = C (C est un nombre réel) et peut également être appelée constante. Cette fonction signifie la similarité de toute valeur effective d'une variable indépendante x avec la même valeur de variable y valeur C .

Le graphique d'une constante est une ligne droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par un point de coordonnées (0, C). Pour plus de précision, traçons des graphiques de fonctions stationnaires y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (sur la chaise elles sont indiquées en couleurs noir, rouge et bleu en général).

Vicennie 2

Cette fonction élémentaire est exprimée par la formule y = x n (n est un nombre naturel supérieur à un).

Examinons deux variantes de la fonction.

Racine du nième degré, n – nombre

Pour plus de clarté, disons la chaise, qui affiche le graphique des fonctions suivantes : y = x, y = x 4 je y = x8. Ces fonctions sont indiquées par des couleurs : noir, rouge et bleu.

Les graphiques de la fonction d'une étape appariée pour d'autres valeurs de l'indicateur ont une apparence similaire.

Vicenzennya 3

La fonction puissance est la racine du nième degré, n est le nombre

le domaine de signification est l'absence de tous nombres opérationnels inconnus [0, + ∞) ;
si x = 0, fonction y = x n a une valeur égale à zéro ;
fonction donnée- fonction je l'attends avec impatience(ni jumelé ni non apparié) ;
plage de valeurs : [0, + ∞ );
étant donné la fonction y = x n avec des signes appariés, la racine se développe dans toute la zone de signification ;
la fonction peut être convexe et droite sur toute la zone de distinction ;
points quotidiens de la peregina;
asymptotes quotidiennes ;
Le graphique de la fonction pour les paires de n passe par les points (0 ; 0) et (1 ; 1).

Racine du nième degré, n – nombre non apparié

Cette fonction est appliquée à l'ensemble des nombres réels. Pour plus de clarté, regardons les graphiques des fonctions y = x 3 , y = x 5 je x9. Sur le fauteuil il y a des couleurs marquées : noir, rouge et bleu, les couleurs des courbes sont cohérentes.

D'autres valeurs non appariées de l'indicateur de la racine de la fonction y = xn donneront un graphique d'apparence similaire.

Vicechennya 4

La fonction puissance est la racine du nième degré, n est un nombre impair

la zone de signification est la signification de tous les nombres actifs ;
fonction donnée - non appariée ;
zone de valeur – sans aucun numéro actif ;
la fonction y = x n avec des indications non appariées de la racine se développe dans toute la zone de signification ;
La fonction peut être inclinée vers l'espace (- ∞ ; 0 ) ou convexe vers l'espace [ 0 , + ∞) ;
le point de pliage est aux coordonnées (0 ; 0) ;
asymptotes quotidiennes ;
Le graphique de la fonction pour n non apparié passe par les points (-1 ; - 1), (0 ; 0) et (1 ; 1).

Fonction étape

Viznachennya 5

La fonction échelon est exprimée par la formule y = x a.

L'apparence des graphiques et la puissance de la fonction résident dans la valeur de l'indicateur d'étape.

Si une fonction statique a un indicateur entier de a, alors le type de graphique de la fonction statique et sa puissance dépendent du fait que la fonction statique a un indicateur unique ou non apparié, ainsi que du signe de l'indicateur. Jetons un coup d'œil à tout ci-dessous ;
L'indicateur d'étape peut être fractionnaire ou irrationnel - selon lequel le type de graphiques et la puissance de la fonction varient également. Nous allons faire le tri parmi les retombées qui ont fait réfléchir plusieurs personnes : 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
Une fonction statique peut être utilisée comme indicateur zéro, qui sera également abordée ci-dessous.

Jetons un coup d'œil à la fonction statique y = x a, si a est un nombre étrangement positif, par exemple a = 1, 3, 5...

Pour plus de précision, nous montrons des graphiques des fonctions statiques suivantes : y = x (graphiques en couleur noire), y = x 3 (graphiques en couleur bleue), y = x 5 (graphiques en couleur rouge), y = x7 (graphiques en couleur verte). Si a = 1, on peut calculer la fonction linéaire y = x.

Viznachennya 6

La puissance de la fonction statique, si l'indicateur de l'étage est positif non apparié

la fonction croît pour x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
la fonction a une convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0 ) et une convexité pour x ∈ [ 0 ; + ∞) (y compris la fonction linéaire) ;
le point d'inflexion a des coordonnées (0 ; 0) (y compris la fonction linéaire) ;
asymptotes quotidiennes ;
points de passage de la fonction : (- 1 ; - 1), (0 ; 0), (1 ; 1).

Jetons un coup d'œil à la fonction statique y = x a, si a est un nombre positif, par exemple a = 2, 4, 6...

Pour plus de précision, nous montrons des graphiques des fonctions statiques suivantes : y = x 2 (graphiques en couleur noire), y = x 4 (graphiques en couleur bleue), y = x 8 (graphiques en couleur rouge). Si a = 2 est une fonction quadratique, son graphique est une parabole quadratique.

Viznachennya 7

La puissance de la fonction statique, si l'indicateur de l'étage est un type positif :

zone de valeur : x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
en décomposition pour x ∈ (- ∞; 0];
la fonction peut se plier en x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
oculaires peregina vidsutnі;
asymptotes quotidiennes ;
points de passage de la fonction : (- 1 ; 1), (0 ; 0), (1 ; 1).

L'application des graphiques de la fonction statique est indiquée ci-dessous pour le bébé. y = x a , si a est un nombre impair : y = x – 9 (graphiques en couleur noire) ; y = x – 5 (graphiques en couleur bleue) ; y = x – 3 (graphiques en couleur rouge) ; y = x – 1 (graphiques en couleur verte). Si a = - 1, la proportionnalité de l'inversion est déterminée, le graphique est une hyperbole.

Viznachennya 8

La puissance de la fonction statique, si l'indicateur de l'étage est négatif non apparié :

Si x = 0 est retiré d'un autre genre, les fragments lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pour a = - 1, - 3, - 5, …. Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

plage de valeurs : y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
la fonction n'est pas appariée, fragments y(-x) = -y(x);
la fonction décroît pour x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0; + ∞);
la fonction a une convexité pour x ∈ (- ∞ ; 0) et une convexité pour x ∈ (0 ; + ∞) ;
points peregina tous les jours ;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, si a = - 1, - 3, - 5,. . . .

points de passage de la fonction : (- 1 ; - 1), (1 ; 1).

L'application du graphique de la fonction statique y = x a est montrée sur le petit ci-dessous, si a est le même nombre : y = x – 8 (graphiques en couleur noire) ; y = x – 4 (graphiques en couleur bleue) ; y = x – 2 (graphiques en couleur rouge).

Viznachennya 9

La puissance de la fonction statique, si l'indicateur de l'étage est un type négatif :

zone de valeur : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Si x = 0 est retiré d'un autre genre, les fragments lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ pour a = - 2, - 4, - 6, …. Ainsi, la droite x = 0 est une asymptote verticale ;

la fonction est appariée, fragments y(-x) = y(x);
la fonction est croissante pour x ∈ (- ∞ ; 0) et décroissante pour x ∈ 0 ; +∞;
la fonction peut se plier pour x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
points peregina tous les jours ;
asymptote horizontale - droite y = 0, fragments :

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, si a = - 2, - 4, - 6, . . . .

points de passage de la fonction : (- 1 ; 1), (1 ; 1).

Dès le début, faites attention à l'aspect offensant : en même temps, si a est un argument positif avec un signe impair, les auteurs prennent l'intervalle - ∞ comme zone de signification de la fonction statique ; + ∞ , en gardant à l'esprit que l'indicateur a est un mouvement lent. À l'heure actuelle, les auteurs de nombreux points de vue initiaux sur l'algèbre et l'analyse cob NE VALENTENT PAS les fonctions statiques, où l'indicateur est un ami avec un signe non apparié pour les valeurs négatives de l'argument. Nous considérerons plus loin cette position : passons au stade de l'impersonnalité [0 ; + ∞). Recommandation aux étudiants : gardez votre compte à jour pour éviter les divergences.

Eh bien, jetons un coup d'œil à la fonction statique y = x a , si l'étape de l'indicateur est un nombre rationnel ou irrationnel à l'esprit, qui est 0< a < 1 .

Illustré par des graphiques de fonctions statiques y = x a si a = 11 12 (graphiques en couleur noire) ; a = 5 7 (graphiques en couleur rouge) ; a = 13 (graphiques en couleur bleue) ; a = 2 5 (graphiques en couleur verte).

Autres valeurs d'affichage étape a (pour l'esprit 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Viznachennya 10

Puissance d'une fonction statique à 0< a < 1:

plage de valeurs : y ∈ [0 ; + ∞);
la fonction est croissante pour x ∈ [0; + ∞);
la fonction est convexe pour x ∈ (0; + ∞) ;
points peregina tous les jours ;
asymptotes quotidiennes ;

Jetons un coup d'œil à la fonction statique y = x a, si l'étape de l'indicateur est un nombre non rationnel ou irrationnel à l'esprit, donc a > 1.

Nous illustrons la fonction statique avec des graphiques y = x un esprit donné sur l'application de telles fonctions : y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (les couleurs noir, rouge, bleu et vert des graphiques sont cohérentes).

D'autres valeurs de l'étape d'affichage, et pour l'esprit a > 1, donnent un type de graphique similaire.

Viznachennya 11

Puissance de la fonction statique pour a > 1 :

région de valeur : x ∈ [0 ; + ∞);
plage de valeurs : y ∈ [0 ; + ∞);
une fonction est donnée - la fonction d'une forme zagal (ni non appariée ni appariée) ;
la fonction est croissante pour x ∈ [0; + ∞);
la fonction peut se plier pour x ∈ (0 ; + ∞) (si 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
points peregina tous les jours ;
asymptotes quotidiennes ;
points de passage de la fonction : (0 ; 0), (1 ; 1).

Nous apprécions votre respect! Si a est un mot négatif avec un signe non apparié, certains auteurs examinent de plus près quelle zone est désignée dans ce type - intervalle - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) du fait que l'étape indicatrice a est un ralenti. À l'heure actuelle, les auteurs des documents initiaux sur l'algèbre et l'analyse en torchis NE valorisent PAS les fonctions statiques avec l'indicateur sous la forme d'une fraction avec un signe non apparié pour les valeurs négatives de l'argument. De plus, nous sommes d'accord avec ce point de vue : nous prenons le domaine de signification des fonctions statiques à partir d'autres indicateurs négatifs d'impersonnalité (0 ; + ∞). Recommandation aux étudiants : vérifiez le solde de votre dépôt à ce moment pour éviter tout écart.

Nous continuons le sujet et analysons la fonction statique y = x a pour l'esprit : - 1< a < 0 .

Rassemblons les graphiques des fonctions offensives : y = x - 5 6 y = x - 2 3 y = x - 1 2 2 y = x - 1 7 (les lignes de couleur noire, rouge, bleue et verte sont cohérentes).

Viznachennya 12

La puissance de la fonction statique à - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , si - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

plage de valeurs : y ∈ 0 ; +∞;
une fonction est donnée - la fonction d'une forme zagal (ni non appariée ni appariée) ;
points peregina tous les jours ;

Sur la chaise ci-dessous se trouvent les graphiques des fonctions statiques y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 (les courbes de couleurs noire, rouge, bleue et verte sont identiques).

Viznachennya 13

La puissance d'une fonction statique à une< - 1:

région de valeur : x ∈ 0 ; +∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , si une< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

plage de valeurs : y ∈ (0 ; + ∞) ;
une fonction est donnée - la fonction d'une forme zagal (ni non appariée ni appariée) ;
la fonction décroît pour x ∈ 0 ; +∞;
la fonction peut se plier en x ∈ 0 ; +∞;
points peregina tous les jours ;
L'asymptote horizontale est droite y = 0 ;
point de passage de la fonction : (1 ; 1) .

Si a = 0 et x ≠ 0, la fonction y = x 0 = 1 est supprimée, ce qui signifie la ligne directe où le point (0 ; 1) est éteint (on comprend que l'expression 0 0 ne reçoit aucune valeur) .

La fonction d'affichage peut être visualisée y = a x , où a > 0 et a ≠ 1 et le graphique de cette fonction est différent en fonction de la valeur du substitut a. Jetons un coup d'œil aux retombées.

Regardons d'abord la situation si la base de la fonction d'affichage va de zéro à un (0< a < 1) . Comme point de départ, utilisez des graphiques de fonctions avec a = 1 2 (couleur bleue de la courbe) et a = 5 6 (couleur rouge de la courbe).

Une apparence similaire est due au graphisme de la fonction d'affichage pour d'autres raisons sur la base de 0< a < 1 .

Viznachennya 14

La puissance de la fonction d'affichage, si la base est inférieure à un :

plage de valeurs : y ∈ (0 ; + ∞) ;
une fonction est donnée - la fonction d'une forme zagal (ni non appariée ni appariée) ;
une fonction d'affichage, qui a une base inférieure à un, et qui est décroissante sur toute la zone de valeur ;
points peregina tous les jours ;
asymptote horizontale - ligne droite y = 0 lorsque x change, donc pragne + ∞ ;

Regardons maintenant la différence, si la base de la fonction d'affichage est supérieure à la base inférieure (a > 1).

Cette série d'évolutions est illustrée par un graphique des fonctions d'affichage y = 3 2 x (couleur bleue de la courbe) et y = e x (couleur rouge du graphique).

D'autres valeurs de la base, les plus importantes, donneront un aspect similaire au graphique de la fonction d'affichage.

Viznachennya 15

La puissance de la fonction d'affichage, si la base est supérieure à un :

le domaine de signification est constitué de tous les nombres dénués de sens ;
plage de valeurs : y ∈ (0 ; + ∞) ;
une fonction est donnée - la fonction d'une forme zagal (ni non appariée ni appariée) ;
montre une fonction dont la base est supérieure à un et grandit comme x ∈ - ∞ ; +∞;
la fonction peut se plier en x ∈ - ∞ ; +∞;
points peregina tous les jours ;
asymptote horizontale - droite y = 0 lorsque x change, ce qui est égal à - ∞ ;
point de passage de la fonction : (0 ; 1) .

La fonction logarithmique ressemble à y = log a (x), où a > 0, a ≠ 1.

Cette fonction est désignée spécialement pour la valeur positive de l'argument : pour x ∈ 0 ; + ∞.

Le graphique d'une fonction logarithmique a une apparence différente en fonction de la valeur de la base.

Jetons d'abord un coup d'oeil à la situation, si 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

D'autres valeurs, petites unités, donneront un type de graphique similaire.

Viznachennya 16

La puissance d'une fonction logarithmique si la base est inférieure à un :

région de valeur : x ∈ 0 ; + ∞. Si x est droitier vers zéro, la valeur de la fonction est augmentée + ∞ ;
plage de valeurs : y ∈ - ∞ ; +∞;
une fonction est donnée - la fonction d'une forme zagal (ni non appariée ni appariée) ;
logarithmique
la fonction peut se plier en x ∈ 0 ; +∞;
points peregina tous les jours ;
asymptotes quotidiennes ;

Regardons maintenant la différence, si la base de la fonction logarithmique est supérieure à un : a > 1 . Sur la chaise ci-dessous se trouvent des graphiques des fonctions logarithmiques y = log 3 2 x et y = ln x (les couleurs bleues et rouges des graphiques sont cohérentes).

D'autres valeurs de base supérieures à un donneront un type de graphique similaire.

Viznachennya 17

La puissance de la fonction logarithmique si la base est supérieure à un :

région de valeur : x ∈ 0 ; + ∞. Si x n'est pas nul, droitier, la valeur de la fonction est augmentée jusqu'à - ∞ ;
plage de valeurs : y ∈ - ∞ ; + ∞ (tous les numéros anonymes) ;
une fonction est donnée - la fonction d'une forme zagal (ni non appariée ni appariée) ;
la fonction logarithmique croît à x ∈ 0 ; +∞;
la fonction est convexe pour x ∈ 0 ; +∞;
points peregina tous les jours ;
asymptotes quotidiennes ;
point de passage de la fonction : (1 ; 0) .

Les fonctions trigonométriques sont sinus, cosinus, tangente et cotangente. Regardons la puissance du skin et les graphiques associés.

L’essence de toutes les fonctions trigonométriques est donc caractérisée par le pouvoir de la périodicité. si les valeurs de la fonction sont répétées avec différentes valeurs de l'argument, alors un type de un est divisé par la valeur de la période f(x + T) = f(x) (T – période). Ainsi, la liste des puissances des fonctions trigonométriques ajoute la période la moins positive. De plus, nous indiquerons ces valeurs à l'argument pour lequel la fonction subordonnée est convertie en zéro.

Fonction sinus : y = sin (x)

Le graphique de cette fonction est appelé onde sinusoïdale.

Viznachennya 18

La puissance de la fonction sinus :

domaine de signification : toutes les multiplicités de nombres réels x ∈ - ∞ ; +∞;
la fonction est convertie en zéro si x = π · k, où k ∈ Z (Z est un nombre entier) ;
la fonction est croissante pour x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z et décroissant pour x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ;
la fonction sinus produit des maxima locaux aux points π 2 + 2 π · k ; 1 et minima locaux aux points - π 2 + 2 π · k ; - 1, k ∈Z;
la fonction sinusoïdale est courbe si x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z i est convexe si x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z ;
asymptotes quotidiennes.

Fonction cosinus : y = cos(x)

Le graphique de cette fonction s’appelle un cosinus.

Viznachennya 19

Puissance de la fonction cosinus :

zone de valeur : x ∈ - ∞ ; +∞;
la plus petite période positive : T = 2 π ;
plage de valeurs : y ∈ - 1 ; 1;
fonction donnée - paire, fragments y(-x) = y(x);
la fonction est croissante pour x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z et décroissant pour x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z ;
la fonction cosinus produit des maxima locaux aux points 2 π · k ; 1, k ∈ Z et minima locaux aux points π + 2 π · k ; - 1, k ∈z;
la fonction cosinus est courbe si x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z i est une bulle, si x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ;
les points peregina sont situés en coordonnées π 2 + π · k ; 0 , k ∈Z
asymptotes quotidiennes.

Fonction tangente : y = bronzage(x)

Le graphique de cette fonction s'appelle tangente.

Viznachennya 20

La puissance de la fonction tangente :

zone de valeur : x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, où k ∈ Z (Z n'est pas un nombre de nombres) ;
Le comportement de la fonction tangente sur l'inter-région est lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Ainsi, les droites x = π 2 + π · k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;
la fonction est convertie en zéro si x = π · k pour k ∈ Z (Z est un nombre entier) ;
plage de valeurs : y ∈ - ∞ ; +∞;
fonction donnée - non appariée, fragments y(-x) = -y(x);
la fonction croît à - π 2 + π · k ; π 2 + π k, k ∈ Z ;
la fonction tangente est courbe pour x ∈ [π · k ; π 2 + π · k), k ∈ Z et convexe pour x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
les points du peregina se dessinent en coordonnées π · k ; 0, k ∈Z;

Fonction cotangente : y = lit bébé(x)

Le graphique de cette fonction est appelé cotangentoïde .

Viznachennya 21

La fonction puissance de la cotangente :

zone de signification : x ∈ (π · k ; π + π · k), où k ∈ Z (Z est un nombre innombrable) ;

Le comportement de la fonction cotangente sur l'inter-région est lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Ainsi, les droites x = π · k k ∈ Z sont des asymptotes verticales ;

la plus petite période positive : T = π ;
la fonction devient nulle si x = π 2 + π · k pour k ∈ Z (Z est un nombre entier) ;
plage de valeurs : y ∈ - ∞ ; +∞;
fonction donnée - non appariée, fragments y(-x) = -y(x);
la fonction décroît pour x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z ;
la fonction cotangente est concave pour x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z et convexe pour x ∈ [ - π 2 + π · k ;
les points peregina sont situés en coordonnées π 2 + π · k ; 0, k ∈Z;
asymptotes volées et horizontales quotidiennement.

Les fonctions trigonométriques inverses sont l'arc sinus, l'arc cosinus, l'arc tangente et l'arc cotangente. Le plus souvent, en raison de la présence du préfixe « arc » dans le nom, les fonctions trigonométriques inverses sont appelées fonctions d'arc. .

Fonction arc sinus : y = a r c sin (x)

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La puissance de la fonction arc sinus :

fonction donnée - non appariée, fragments y(-x) = -y(x);
la fonction arc sinus a une pente en x ∈ 0 ; 1 і convexité en x ∈ - 1 ; 0 ;
les points le long du périmètre sont les coordonnées (0 ; 0), et il y a le zéro de la fonction ;
asymptotes quotidiennes.

Fonction arc cosinus : y = rc cos (x)

Viznachennya 23

La puissance de la fonction arccosinus :

zone de valeur : x ∈ - 1 ; 1;
plage de valeurs : y ∈ 0 ; π ;
la fonction est donnée - la forme zagal (ni appariée ni non appariée) ;
la fonction diminue dans toute la zone d'importance ;
la fonction arc cosinus a une pente en x ∈ - 1 ; 0 = convexité en x ∈ 0 ; 1;
les points peregina se profilent aux coordonnées 0 ; π2;
asymptotes quotidiennes.

Fonction arctangente : y = r c t g (x)

Viznachennya 24

Fonctions de puissance de l'arctangente :

zone de valeur : x ∈ - ∞ ; +∞;
plage de valeurs : y ∈ - π 2 ; π2;
fonction donnée - non appariée, fragments y(-x) = -y(x);
la fonction se développe dans toute la zone d'importance ;
La fonction arctangente est inclinée pour x ∈ (- ∞ ; 0 ) et convexe pour x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
le point d'inflexion a les coordonnées (0 ; 0), et il y a le zéro de la fonction ;
asymptotes horizontales – lignes droites y = - π 2 pour x → - ∞ et y = π 2 pour x → + ∞ (pour la plus petite asymptote – la ligne entière de couleur verte).

Fonction arc tangente : y = r c c t g (x)

Viznachennya 25

Fonctions de puissance de l'arccotangente :

zone de valeur : x ∈ - ∞ ; +∞;
plage de valeurs : y ∈ (0 ; π) ;
la fonction est donnée - sous forme zagal ;
la fonction diminue dans toute la zone d'importance ;
la fonction arccotangente a une courbure en x ∈ [0 ; + ∞) і convexité en x ∈ (- ∞; 0];
le point d'inflexion est à la coordonnée 0 ; π2;
asymptotes horizontales – lignes droites y = π en x → - ∞ (sur la chaise – ligne de couleur verte) et y = 0 en x → + ∞.

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