Placez-vous devant les coordonnées de l'avion (le plus court). Lève-toi du point au plan - emplacement marqué et appliqué Lève-toi des coordonnées au plan

Dans cet article nous définissons la distance d'un point à un plan et nous analyserons la méthode des coordonnées, qui nous permet de trouver la distance d'un point donné à un plan donné dans l'espace trivial. Après avoir présenté la théorie, nous analyserons brièvement les solutions à plusieurs applications et tâches caractéristiques.

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Se tenir du point au plan - le sens.

La distance d'un point à un plan est déterminée par l'un des points donnés et l'autre par la projection d'un point donné sur un plan donné.

Soit un point M 1 et un plan dans l'espace trivial. Traçons une droite a passant par le point M 1, perpendiculaire au plan. De manière significative, le point de la barre transversale de la droite a et le plan yak H 1. La section M 1 H 1 est appelée perpendiculaire, On abaisse le point M 1 sur le plan, et le point H 1 - base perpendiculaire.

Viznachennya.

- du point donné à la base de la perpendiculaire tracée du point donné au plan donné.

Le plus souvent, la distance désignée entre le point et le plan dans la vue rapprochée devient plus nette.

Viznachennya.

Lève-toi du point à l'avion- la valeur de la moitié de la perpendiculaire tombée d'un point donné à un plan donné.

La trace doit indiquer que vous vous élèverez du point M 1 au plan de telle manière que ce soit la plus petite des distances du point M 1 donné à n'importe quel point du plan. Clairement, laissez le point H 2 se situer dans le plan et la proéminence du point H 1. Évidemment, le tricutané M 2 H 1 H 2 est rectangulaire, dans lequel M 1 H 1 est la jambe et M 1 H 2 est l'hypoténuse, donc , . Avant le discours, la section M 1 H 2 est appelée maladif, Réalisé du point M 1 à l'avion. Alors la perpendiculaire, descendant d'un point donné à un plan donné, est alors moindre que la perpendiculaire, tirée d'un point donné à un plan donné.

S'élever d'un point à l'autre - théorie, application, solution.

Certains problèmes géométriques, à n'importe quelle étape de la solution, nécessitent de trouver la ligne allant d'un point à un plan. La méthode pour laquelle est sélectionnée en fonction des données de sortie. Assurez-vous d'évoquer les résultats de la théorie et du théorème de Pythagore, qui sont un signe de fidélité et de similitude avec le Tricutané. Si vous avez besoin de connaître la distance d'un point à un plan donné dans un espace trivial, alors la méthode des coordonnées vient à la rescousse. Regardons à quel point de l'article.

Formulons d’abord le problème mental.

Le système de coordonnées rectilignes Oxyz dans l'espace trivial reçoit un point , La zone et il faut connaître la distance du point M 1 à la zone.

Examinons deux façons d'atteindre cet objectif. La première méthode, qui vous permet de calculer la distance d'un point à un plan, sur la base des coordonnées trouvées du point H 1 - la perpendiculaire, abaissée du point M 1 au plan, et de calculer en outre la distance entre les points M 1 et H 1. Autre méthode Pour trouver la station à proximité d'un point donné jusqu'à la zone donnée, cela dépend de la vigueur du niveau normal de la zone donnée.

La première méthode, qui permet de calculer la distance du point à l'appartement.

Soit H 1 la base de la perpendiculaire tracée du point M 1 au plan. Puisque les coordonnées du point H 1 sont significatives, alors la distance du point M 1 au plan peut être calculée comme la distance entre les points і derrière la formule. De cette façon, il devient impossible de connaître les coordonnées du point H1.

Otje, algorithme pour trouver la distance d'un point à l'appartement offensant:

Une autre méthode adaptée pour trouver la distance du point à l'appartement.

Puisque dans le système de coordonnées rectilignes Oxyz on nous donne un plan, nous pouvons déterminer le plan normal de la vue. Alors place-toi devant le point à la superficie est calculé à l'aide de la formule. La validité de cette formule pour trouver la distance d'un point à un plan est établie par le théorème.

Théorème.

Que le système de coordonnées rectangulaires Oxyz soit fixé dans l'espace trivial, un point est donné et un niveau normal de planéité en apparence. Placez-vous du point M 1 au plan égal à la valeur absolue de la valeur du viraza, qui se trouve sur le côté gauche du plan normal du plan, calculée alors.

Fini.

La preuve de ce théorème est absolument similaire à la preuve d'un théorème similaire dans la section du point à la ligne.

Il est difficile de montrer que la distance du point M 1 au plan est égale au module de différence de la projection numérique M 1 et à la valeur de la distance de la base de coordonnées au plan, donc , de - vecteur normal de surface, unités anciennes, - directement, car il est représenté par un vecteur.

і il y a une chose derrière le sens, mais sous forme coordonnée. Eh bien, que deviez-vous apporter à la table ?

D'une telle manière se tenir devant le point au plan peut être calculé en substituant les coordonnées x, y et z du point M 1 dans la partie gauche du plan normal du plan et en prenant la valeur absolue de la valeur extraite.

La crosse est située au point à l'appartement.

Bout.

Découvrez où vous situer à partir du point à l'appartement.

Décision.

Première méthode.

Dans la tâche mentale, on nous donne un niveau de surface caché, il est clair que - vecteur normal de ce plan. Ce vecteur peut être pris comme vecteur directeur de la droite a, perpendiculaire à un plan donné. On peut alors écrire les lignes canoniques des droites dans l’espace, comme si elles passaient par un point Et il existe un vecteur directionnel avec des coordonnées, comme vous pouvez le voir.

Nous procédons à la recherche des coordonnées du point de la barre transversale de la droite et la superficie. De manière significative її H 1. Pour lequel on définit le passage des droites canoniques aux niveaux de deux plans sécants :

Maintenant nous avons un système de classement (Si nécessaire, tournez-vous vers les statistiques). vikoristamo :

De cette façon...

Ne parvient plus à calculer la distance requise d'un point donné à un plan donné entre les points і:
.

Une autre voie est vertueuse.

Maintenons le niveau normal de la zone donnée. Pour cela, nous devons redonner à la surface plane un aspect normal. Après avoir évalué le multiplicateur normalisateur , Le niveau normal de l'avion est supprimé . Il est devenu impossible de calculer la valeur de la partie gauche de la ligne supprimée lorsque і prenez le module de la valeur sélectionnée - puis laissez le shukana se tenir devant le point à la planéité :

C'est pourquoi j'ai lu ceci sur cette page (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D=-D3DXVec3Dot(&vP1,&vNormal);

où vP1 est le point sur le plan et vNormal est la normale au plan. C'est moins important, car cela vous donne une longueur d'avance, donc le résultat sera toujours égal à 0. De plus, pour être raisonnable (il y a encore quelques nuages ​​dans la partie D du niveau plat), et même d dans le plat niveau je me démarquerai de la ligne d'épi de lumière à épi de planéité ?

mathématiques

3 types

6

Sous forme halal, la distance entre le point p et le plan peut être calculée à l'aide de la formule

de -exploitation d'un produit ponctuel

= Hache * bx + ay * par + az * bz

і où p0 est un point du plan.

Puisque n a un seul doublement, alors la ligne de points entre le vecteur et lui est le doublement (signé) de la projection du vecteur sur la normale.

La formule, comme vous le savez, est simplement arrondie par une goutte, puisque le point p est une racine de coordination. À cet égard

Distance = = -

L'intégrité est formellement incorrecte, puisqu'un point solide est un vecteur, et non un point... mais triangule quand même numériquement. Après avoir écrit une formule explicite, vous la supprimez

(0 - p0.x) * n.x + (0 - p0.y) * n.y + (0 - p0.z) * n.z

c'est la même chose

- (p0.x * n.x + p0.y * n.y + p0.z * n.z)

2

Le résultat est toujours égal à zéro. Le résultat ne sera égal à zéro que dans le cas où le plan passe par la racine des coordonnées. (Supposons ici que nous n'avons pas besoin de passer par les coordonnées.)

Fondamentalement, vous recevez une ligne allant du début des coordonnées jusqu'à n'importe quel point de l'avion. (C'est-à-dire que vous avez un vecteur de coordonnées jusqu'à vP1). Le problème avec ce vecteur est que, surtout, les accumulations sont dirigées vers un endroit éloigné du plan, et non vers le point le plus proche du plan. De cette façon, si vous prenez simplement le dowzhin vP1, vous retirez une grosse somme d'avance.

Ce que vous devez faire est de dessiner la projection de vP1 sur un vecteur réel qui, comme vous le savez, est perpendiculaire au plan. Il s'agit tout d'abord de vNormal. Maintenant, prenez le test ponctuel vP1 et vNormal et divisez-le en vNormal, et vous obtenez la réponse. (Si ce serait bien de vous donner vNormal, qui a déjà la même taille, alors il n'est pas nécessaire de le séparer.)

1

Vous pouvez résoudre ce problème en utilisant les multiplicateurs de Lagrange :

Vous savez que le point le plus proche de la plaine est responsable du point de vue de la mère :

C = p + v

Où c est le point le plus proche et v est le vecteur de la zone (comme donc orthogonal à la normale à n). Vous voulez savoir avec la plus petite norme (ou la norme au carré). De cette façon, vous pouvez minimiser le point (c, c) en pensant que v est orthogonal à n (de cette façon, point (v, n) = 0).

De cette façon, configurez le Lagrangien :

L = point (c, c) + lambda * (point (v, n)) L = point (p + v, p + v) + lambda * (point (v, n)) L = point (p, p) + 2 * point (p, v) + point (v, v) * lambda * (point (v, n))

Je prends le rapport à v (je le mets à 0) pour annuler :

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Vous pouvez choisir du lambda dans la rhubarbe en cochant, en faisant vibrer les côtés incriminés sur n, pour supprimer

2 * point (p, n) + 2 * point (v, n) + lambda * point (n, n) = 0 2 * point (p, n) + lambda = 0 lambda = - 2 * point (p, n )

Encore une fois, point (n, n) = 1 et point (v, n) = 0 (puisque v est dans le plan et n lui est orthogonal). Ensuite, le substitut lambda est tourné pour supprimer :

2 * p + 2 * v - 2 * point (p, n) * n = 0

j'entre pour v pour supprimer :

V = point (p, n) * n - p

Ensuite, reconnectez-le à c = p + v pour obtenir :

C = point (p, n) * n

Dovzhina de ce vecteur est plus âgée | point(p,n) | , je signe vous indique s'il y a un point dans la droite du vecteur normal devant la racine des coordonnées ou dans la droite d'inversion devant la racine des coordonnées.

La distance la plus courte du plan à l'origine des coordonnées depuis le voisinage du niveau du plan

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Cet article parle de la distance calculée d'un point à un plan. Il est possible d'analyser en utilisant la méthode des coordonnées, qui permet de trouver l'emplacement d'un point donné dans un espace trivial. Pour le sécuriser, regardons le bout de l'autocollant.

La distance du point au plan est située derrière la distance correspondante du point au point, où l'une d'elles est donnée, et l'autre est une projection sur le plan donné.

Si dans l'espace un point M 1 avec un plan χ est spécifié, alors passant par le point, vous pouvez tracer une ligne droite perpendiculaire au plan. H 1 est le point d'angle de la barre transversale. Il est clair que la section M 1 H 1 est une perpendiculaire qui est tracée du point M 1 à l'aire χ, et le point H 1 est la base de la perpendiculaire.

valeur 1

Appelez la distance d'un point donné à la base de la perpendiculaire, qui est tracée d'un point donné à un plan donné.

La louange peut être écrite sous différentes formules.

Vicence 2

Je passerai d'un point à un avion s'appelle la longueur de la perpendiculaire tracée d'un point donné à un plan donné.

La distance du point M 1 au plan χ est calculée comme suit : la distance du point M 1 au plan χ sera la plus petite du point donné à n'importe quel point du plan. Puisque le point H 2 se dilate dans le plan χ et n'est pas lié au point H 2, alors un tricubitule rectangulaire de la forme M 2 H 1 H 2 est formé , Qui est de coupe droite, qui est la jambe M 2 H 1, M 2 H 2 - l'hypoténuse. Cela signifie que M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 Il est important de passer du point M 1 à la zone χ. Il est possible que tracer perpendiculairement d’un point donné à un plan soit moins difficile que dessiner d’un point à un plan donné. Jetons un coup d'œil au petit, pointé plus bas.

S'élever d'un point à un plan - théorie, application, solutions

Il existe un certain nombre de problèmes géométriques dont la solution nécessite de passer d'un point à un plan. Les méthodes de révélation peuvent varier. Pour couronner le tout, nous devons expliquer le théorème de Pythagore et les similitudes du tricutané. Si vous devez augmenter la distance d'un point à un plan spécifié dans un système de coordonnées rectangulaires d'un espace trivial, utilisez la méthode des coordonnées. Le paragraphe du Danemark traite de cette méthode.

En théorie, étant donné un point dans l'espace trivial de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) et d'aire χ, il est nécessaire de déterminer la distance de M 1 à l'aire χ. Pour réussir, il existe plusieurs façons de réussir.

première méthode

Cette méthode est amorcée à une certaine distance du point au plan en utilisant les coordonnées supplémentaires du point H 1, qui est la perpendiculaire du point M 1 au plan χ. Ensuite, vous devez calculer la différence entre M 1 et H 1.

Pour atteindre le niveau souhaité d'une autre manière, maintenez le niveau normal de la zone donnée.

autrement

Derrière l'esprit, on voit que H 1 est la base de la perpendiculaire, qui a été abaissée du point M 1 jusqu'au plan χ. Ensuite, les coordonnées (x 2, y 2, z 2) du point H 1 sont déterminées. Shukan de M 1 au plan χ est donné par la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, de M 1 (x 1, y 1, z 1) і H 1 (x 2, y 2, z 2). Pour y parvenir, il faut connaître les coordonnées du point H 1.

Il est possible que H 1 soit le point de la barre transversale du plan χ de la droite a, qui passe par le point M 1, déplacé perpendiculairement au plan χ. L'étoile montre qu'il faut créer une ligne droite passant par un point donné perpendiculairement à un plan donné. Il est également possible de calculer les coordonnées du point H 1. Il faut calculer les coordonnées du point de la barre transversale de la droite et du plan.

Algorithme pour trouver la distance d'un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) au plan χ :

vice 3

• pente de la droite qui passe par le point M 1 et en même temps
• perpendiculaire à la zone χ ;
• connaître et calculer les coordonnées (x 2, y 2, z 2) du point H 1, qui sont des points
• barre transversale de droite a de plan χ ;
• calculez le rapport de M 1 à χ, en utilisant la formule Vikorist M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

troisième méthode

Étant donné un système de coordonnées rectangulaires Pro x y z a un plan χ, alors le plan normal de la forme cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 est dérivé. 1 (x 1, y 1, z 1 ), dessiné vers l'aire χ, qui est calculée à l'aide de la formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p. Cette formule est valable, car les principes du théorème ont été établis.

théorème

Si un point M 1 (x 1, y 1, z 1) est donné dans un espace trivial, alors le plan normal est égal à la forme cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, alors le calcul la distance du point au plan M 1 H 1 est effectuée à l'aide de la formule M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p, puisque x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Fini

La preuve du théorème revient à trouver la droite d’un point à une droite. Il est clair que la distance de M 1 au plan χ est égale au module différence de la projection numérique du rayon vecteur M 1 de la surface des coordonnées au plan χ. Alors l'expression M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Le vecteur normal de l'aire χ ressemble à n → = cos α, cos β, cos γ, et son doublement est plus unité, npn → OM → - projection numérique du vecteur OM → = (x 1, y 1, z 1 ) y directement, ce qui est indiqué vecteur n →.

Résumons la formule de calcul des vecteurs scalaires. Alors il est possible de trouver un vecteur de la forme n →, OM → = n → npn → OM → = 1 npn → OM → = npn → OM →, puisque n → = cos α, cos β, cos γ z et OM → = (x 1, y 1, z 1). La forme des coordonnées de l'enregistrement ressemble à n →, OM → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, alors M 1 H 1 = npn → OM → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Le théorème a été prouvé.

Il est clair que la distance du point M 1 (x 1, y 1, z 1) à la zone χ est calculée par substitution supplémentaire au côté gauche du niveau normal de la zone cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 Remplacement des coordonnées x, y, z x 1, y 1 i z 1, Ce qui est amené au point M 1, en prenant la valeur absolue de la valeur supprimée.

Jetons un coup d'œil à la recherche de la distance entre un point avec des coordonnées et un plan donné.

fesses 1

Calculez la distance entre le point de coordonnées M 1 (5, - 3, 10) et l'aire 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Décision

Nous résolvons le problème de deux manières.

La première consiste à calculer le vecteur directeur de la droite a. On suppose que le niveau de la zone est fixé à 2 x - y + 5 z - 3 = 0 je l'attends avec impatience, Et n → = (2, - 1, 5) est le vecteur normal de la zone donnée. Celui-ci doit être positionné dans la direction du vecteur directeur, la ligne droite a, qui est perpendiculaire à la zone donnée. La trace consiste à enregistrer l'alignement canonique d'une droite dans l'espace qui passe par M 1 (5, - 3, 10) à partir de ceux-ci, qui est dirigée par un vecteur de coordonnées 2, - 1, 5.

Le rivet ressemble à x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Slide marque les points de la barre transversale. Pour cela, il est nécessaire de combiner l'alignement en un système de transition du canonique à l'alignement de deux droites sécantes. je vais donner un point pris comme N 1. Rejeté, donc

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Pourquoi est-il nécessaire de modifier le système ?

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Regardons la règle de solution système selon Gaus :

1 2 0 - 1 5 0 Avant - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Nous supposons que H 1 (1, - 1, 0).

Il est possible de calculer la distance d'un point donné à un plan. Prenez les points M 1 (5, - 3, 10) et H 1 (1, - 1, 0) et sélectionnez

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Une autre façon d'obtenir le meilleur résultat consiste à ramener le niveau donné 2 x - y + 5 z - 3 = 0 à une apparence normale. Le multiplicateur normalisant est significatif et on peut en déduire 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. De là on peut voir le niveau de l'aire 2 30 · x de l'aire - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Calcul de la partie gauche de l'aire nnya effectué en substituant x = 5, y = - 3, z = 10, et il faut prendre la substitution de M 1 (5, - 3 , 10) à 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Nous allons jeter un coup d'oeil:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Version 2 30.

Si la surface χ est spécifiée par l'une des méthodes de la section sur la façon d'établir la surface, il est alors nécessaire de d'abord supprimer le niveau de surface χ et de calculer les résultats selon n'importe quelle méthode.

fesses 2

Dans l'espace trivial, les points sont donnés avec les coordonnées M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Calculez la distance de M 1 à la zone A B C.

Décision

Pour l'épi, il faut enregistrer le niveau de la zone afin de passer par les trois points donnés de coordonnées M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6 , 1), C (4, 0, - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ xy - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Il semble que la décision soit similaire à la décision précédente. Cela signifie que du point M 1 au plan A B C la valeur est 2 30.

Version 2 30.

La valeur de la distance d'un point donné du plan ou au plan parallèle, plus précisément, en formulant la formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 -p. Il est clair que le niveau normal de planéité est pris en compte.

fesses 3

Trouver la distance d'un point donné de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 7) à avion coordonnéÀ propos de x y z et de l'aire donnée aux niveaux 2 y - 5 = 0.

Décision

La zone de coordonnées Pro y z est similaire à la forme x = 0. Pour la zone Pro y z, c'est normal. Par conséquent, il est nécessaire de substituer la valeur x = - 3 dans le côté gauche et de prendre le module de la valeur du point de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 7) jusqu'au plan. La valeur est supprimée, égale à - 3 = 3.

Après avoir transformé le niveau normal du plan 2 y - 5 = 0, la vue y - 5 2 = 0 est supprimée. Vous pourrez alors savoir où vous pouvez aller à partir du point de coordonnées M 1 (- 3, 2, - 7 ) au plan 2 y - 5 = 0. Substitution Et après avoir calculé, nous soustrayons 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

preuve: Shukan de M 1 (- 3, 2, - 7) à Pro y z a une valeur de 3, et à 2 y - 5 = 0 a une valeur de 5 2 - 2.

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