Системи тригонометричних нерівностей - приклади. Найпростіші та складніші тригонометричні нерівності. Зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних

На практичному занятті ми повторимо основні типи завдань із теми «Тригонометрія», додатково розберемо завдання підвищеної складностіі розглянемо приклади розв'язання різних тригонометричних нерівностей та їх систем.

Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдань В5, В7, С1 та С3.

Почнемо з повторення основних типів завдань, які ми розглянули у темі «Тригонометрія» та вирішимо кілька нестандартних завдань.

Завдання №1. Виконати переведення кутів у радіани та градуси: а) ; б).

а) Скористаємося формулою переведення градусів у радіани

Підставимо до неї зазначене значення.

б) Застосуємо формулу переведення радіан у градуси

Виконаємо підстановку .

Відповідь. а); б).

Завдання №2. Обчислити: а); б).

а) Оскільки кут далеко за рамки табличного, зменшимо його з допомогою віднімання періоду синуса. Т.к. кут вказаний у радіанах, то й період розглядатимемо як .

б) У разі ситуація аналогічна. Оскільки кут вказаний у градусах, то й період тангенсу розглядатимемо як .

Отриманий кут хоч і менше періоду, але більше , а це означає, що він відноситься вже не до основної, а до розширеної частини таблиці. Щоб не тренувати вкотре свою пам'ять запам'ятовуванням розширеної таблиці значень тригофункцій, віднімемо період тангенсу ще раз:

Скористалися непарністю функції тангенсу.

Відповідь. а) 1; б).

Завдання №3. Обчислити якщо .

Наведемо всі вирази до тангенсів, розділивши чисельник і знаменник дробу на . У цьому, можемо боятися, що , т.к. у разі значення тангенса не існувало б.

Завдання №4. Спростити вираз.

Зазначені вирази перетворюються за допомогою формул приведення. Просто вони незвично записані із використанням градусів. Перше вираження взагалі є число. Спростимо всі тригофункції по черзі:

Т.к. , то функція змінюється кофункцию, тобто. на котангенс, і кут потрапляє у другу чверть, у якій вихідний тангенс знак негативний.

З тих причин, як і попередньому вираженні, функція змінюється на кофункцію, тобто. на котангенс, а кут потрапляє у першу чверть, у якій у вихідного тангенсу знак позитивний.

Підставимо все в спрощене вираз:

Завдання №5. Спростити вираз.

Розпишемо тангенс подвійного кута за відповідною формулою і спростимо вираз:

Остання тотожність є однією з формул універсальної заміни для косинуса.

Завдання №6. Обчислити.

Головне, це не зробити стандартної помилки і не дати відповіді, що вираз дорівнює . Скористатися основною властивістю арктангенсу не можна поки що біля нього є множник у вигляді двійки. Щоб його позбутися розпишемо вираз за формулою тангенса подвійного кута , у своїй ставимося до , як до звичайному аргументу.

Тепер вже можна застосовувати основну властивість арктангенсу, пригадаємо, що на його чисельний результат обмежень немає.

Завдання №7. Вирішити рівняння .

При вирішенні дробового рівняння, яке дорівнює нулю, завжди вказується, що чисельник дорівнює нулю, а знаменник немає, т.к. на нуль ділити не можна.

Перше рівняння є окремим випадком найпростішого рівняння, яке вирішується за допомогою тригонометричного кола. Згадайте самостійно цей спосіб розв'язання. Друга нерівність вирішується як найпростіше рівняння за загальною формулою коренів тангенсу, але лише із записом знака нерівно.

Як бачимо, одне сімейство коренів виключає інше таке ж по вигляду сімейство коренів, що не задовольняють рівнянню. Тобто. коріння немає.

Відповідь. Коріння немає.

Завдання №8. Вирішити рівняння .

Відразу зауважимо, що можна винести спільний множник і зробимо це:

Рівняння звелося до однієї із стандартних форм, коли добуток декількох множників дорівнює нулю. Ми вже знаємо, що в такому разі або один із них дорівнює нулю або інший, або третій. Запишемо це у вигляді сукупності рівнянь:

Перші два рівняння є окремими випадками найпростіших, з подібними рівняннями ми вже багаторазово зустрічалися, тому одразу вкажемо їх розв'язання. Третє рівняння наведемо до однієї функції за допомогою формули синуса подвійного кута.

Вирішимо окремо останнє рівняння:

Це рівняння немає коренів, т.к. значення синуса не можуть виходити за межі .

Таким чином, рішенням є лише два перші сімейства коренів, їх можна об'єднати в одне, що легко показати на тригонометричному колі:

Це сімейство всіх половин, тобто.

Перейдемо до розв'язання тригонометричних нерівностей. Спочатку розберемо підхід до розв'язання прикладу без використання формул загальних рішень, а за допомогою тригонометричного кола.

Завдання №9. Розв'язати нерівність.

Зобразимо на тригонометричному колі допоміжну лінію, що відповідає значенню синуса рівному і покажемо проміжок кутів, що задовольняють нерівності.

Дуже важливо зрозуміти, як вказувати отриманий проміжок кутів, тобто. що його початком, що кінцем. Початком проміжку буде кут, що відповідає точці, в яку ми увійдемо на самому початку проміжку, якщо рухатимемося проти годинникової стрілки. У нашому випадку це точка, що знаходиться зліва, т.к. рухаючись проти годинникової стрілки і проходячи праву точку, навпаки виходимо з необхідного проміжку кутів. Права точка, отже, відповідатиме кінцю проміжку.

Тепер необхідно зрозуміти значення кутів початку та кінця нашого проміжку розв'язків нерівності. Типова помилка - це вказати відразу, що правою точкою відповідає кут, лівою і дати відповідь. Це не вірно! Зверніть увагу, що ми щойно вказали проміжок, що відповідає верхній частині кола, хоча нас цікавить нижня, інакше кажучи, ми переплутали початок і кінець необхідного нам інтервалу рішень.

Щоб інтервал починався з кута правої точки, а закінчувався кутом лівої точки, необхідно, щоб перший вказаний кут був меншим за другий. І тому кут правої точки нам доведеться відміряти у негативному напрямі відліку, тобто. за годинниковою стрілкою і він дорівнюватиме. Тоді, починаючи рух з нього в позитивному напрямку за годинниковою стрілкою, ми потрапимо в праву точку після лівої точки і отримаємо для неї значення кута. Тепер початок проміжку кутів менше кінця, і ми можемо записати проміжок рішень без урахування періоду:

Враховуючи, що такі проміжки повторюватимуться нескінченну кількість разів після будь-якої кількості поворотів, отримаємо загальне рішення з урахуванням періоду синуса :

Круглі дужки ставимо через те, що нерівність сувора, і точки на колі, які відповідають кінцям проміжку, ми виколюємо.

Порівняйте отриману відповідь із формулою загального рішення, яку ми наводили на лекції.

Відповідь. .

Зазначений спосіб хороший для розуміння того, звідки беруться формули загальних рішень найпростіших тригонеравенств. Крім того, він корисний для тих, кому ліньки вчити всі ці громіздкі формули. Однак сам по собі спосіб теж непростий, виберете, який підхід до рішення вам найзручніший.

Для вирішення тригонометричних нерівностей можна використовувати і графіки функцій, на яких будується допоміжна лінія аналогічно показаному способу з використанням одиничного кола. Якщо вам цікаво, спробуйте самостійно розібратися з таким підходом до вирішення. Надалі використовуватимемо загальні формули для вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей.

Завдання №10. Розв'язати нерівність.

Скористаємося формулою загального рішення з урахуванням того, що нерівність несувора:

Отримуємо в нашому випадку:

Відповідь.

Завдання №11. Розв'язати нерівність.

Скористаємося формулою загального рішення для відповідної суворої нерівності:

Відповідь. .

Завдання №12. Вирішити нерівності: а); б).

У зазначених нерівностях не треба поспішати використовувати формули загальних рішень або тригонометричне коло, досить просто згадати область значень синуса і косинуса.

а) Оскільки , то нерівність немає сенсу. Отже, рішень немає.

б) Т.к. аналогічно, то синус від будь-якого аргументу завжди задовольняє вказану в умові нерівність. Отже нерівності задовольняють усі дійсні значення аргументу.

Відповідь. а) рішень немає; б).

Завдання 13. Розв'язати нерівність .

ВИЗНАЧЕННЯ

Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, які містять змінну під знаком тригонометричної функції.

Розв'язання тригонометричних нерівностей

Розв'язання тригонометричних нерівностей найчастіше зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей виду: \(\ sin x a \), \(\ cos x > a \), \(\ operatorname(tg) x > a \), \(\ \ operatorname(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ operatorname(tg) x \leq a \), \ (\operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ sin x \geq a \), \(\ cos \geq a \), \(\ operatorname(tg) x \geq a \) ), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \)

Вирішуються найпростіші тригонометричні нерівності графічно або за допомогою одиничного тригонометричного кола.

За визначенням, синусом кута \(\\alpha\) є ординатою точки \(\P_(\alpha)(x, y)\) одиничного кола (рис. 1), а косинусом - абсцис цієї точки. Цей факт використовується при вирішенні найпростіших тригонометричних нерівностей з косинус і синус за допомогою одиничного кола.

Приклади розв'язання тригонометричних нерівностей

Завдання

Вирішити нерівність \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)

Рішенняd

Оскільки \(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| , то ця нерівність має розв'язання і її можна вирішити двома способами

Перший метод. Вирішимо цю нерівність графічно. Для цього побудуємо в одній системі координат графік синуса \(\ y=\sin x \) (рис. 2) і прямий \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \)

Виділимо проміжки, на яких синусоїда розташована нижче графіка прямої \(\ y = \ frac (\ sqrt (3)) (2) \) . Знайдемо абсциси \(\ x_(1) \) і \(\ x_(2) \) точок перетину цих графіків: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Отримали інтервал \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) але так як функцію \(\ y=\sin x \) періодична і має період \(\ 2 \pi \) , то відповіддю буде об'єднання інтервалів: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+ 2 \pi k\right] \), \(\ k \in Z \)

Другий спосіб. Побудуємо одиничне коло і пряму \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) , точки їх перетину позначимо \(\ P_(x_(1)) \) і \(\ P_(x_(2) )) \) (рис. 3). Вирішенням вихідної нерівності буде безліч точок ординати, яких менше \(\\frac(\sqrt(3))(2)\). Знайдемо значення \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) і \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) , здійснюючи обхід проти годинникової стрілки, \(\ x_(1)).

\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Враховуючи періодичність функції синус, остаточно отримаємо інтервали \(\ left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\right] \), \(\k \in Z\)

Відповідь\(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\right] \), \(\ k \in Z\)

Завдання

Розв'язати нерівність \(\ \sin x>2 \)

Рішення

Синус – функція обмежена: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , а права частина даної нерівності більше одиниці, тому рішень немає.

Відповідь: рішень немає.

Завдання

Розв'язати нерівність \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)

Рішення

Цю нерівність можна вирішити двома способами: графічно та за допомогою одиничного кола. Розглянемо кожен із способів.

Перший метод. Зобразимо в одній системі координат функції, що описують ліву і праву частини нерівності, тобто \(\ y = \ cos x \) і \ (\ y = \ frac (1) (2) \). Виділимо проміжки, на яких графік функції косинус \(\ y=\ cos x \) розташований вище графіка прямої \(\ y=\frac(1)(2) \) (рис. 4).

Знайдемо абсциси точок \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) і \(\ x_(2) \) – точок перетину графіків функцій \(\ y=\cos x \) і \(\ y=\frac (1)(2) \) , які є кінцями одного із проміжків, на якому виконується зазначена нерівність. \(\ x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3) \); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)

Враховуючи, що косинус – функція періодична, з періодом \(\ 2 \pi \) , відповіддю буде значення \(\ x \) з проміжків \(\ \left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

Другий спосіб. Побудуємо одиничну окружність і пряму \(\ x = \ frac (1) (2) \) (бо на одиничному колі косинус відповідає вісь абсцис). Позначимо \(\ P_(x_(1)) \) і \(\ P_(x_(2)) \) (рис. 5) - точки перетину прямого та одиничного кола. Розв'язанням вихідного рівняння буде безліч точок абсциси, яких менше \(\\frac(1)(2)\). Знайдемо значення \(\ x_(1) \) і \(\ 2 \) , здійснюючи обхід проти годинникової стрілки так, щоб \(\ x_(1) Враховуючи періодичність косинуса, остаточно отримаємо інтервали \(\ \left(-\frac) (\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\ k \in Z \)

Відповідь: \(\ x \in\left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

Завдання

Розв'язати нерівність \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)

Рішення

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій \(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \)

Виділимо проміжки, на яких графік функції \(\ y=\operatorname(ctg) x \) розташований не вище графіка прямої \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) (рис. 6) .

Знайдемо абсцис точки \(\ x_(0) \) , яка є кінцем одного з проміжків, на якому нерівність \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac(\sqrt(3)))( 3)\right)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\right)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) \)

Іншим кінцем цього проміжку є точка \(\pi\) , а функція \(\y=\operatorname(ctg) x \) у цій точці невизначена. Таким чином, одним з розв'язанням даної нерівності є проміжок \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x

Відповідь: \(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+\pi k ; \pi+\pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

Тригонометричні нерівності зі складним аргументом

Тригонометричні нерівності зі складним аргументом можна звести до найпростіших тригонометричних нерівностей за допомогою заміни. Після його рішення робиться зворотна заміна та виражається вихідна невідома.

Завдання

Розв'язати нерівність \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)

Рішення

Виразимо у правій частині даної нерівності косинус: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)

Ведемо заміну \(\ t=2 x+100^(\circ) \) , після чого ця нерівність перетворюється до найпростішої нерівності \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \)

Вирішимо його, використовуючи одиничне коло. Побудуємо одиничне коло і пряму \(\x=-\frac(1)(2)\). Позначимо \(\ P_(1) \) та \(\ P_(2) \) – точки перетину прямого та одиничного кола (рис. 7).

Вирішенням вихідної нерівності буде безліч точок абсциси, яких не більше \(\ -\frac(1)(2) \). Точці \(\P_(1)\) відповідає кут \(\120^(\circ)\), а точці \(\P_(2)\). Таким чином, враховуючи період косинуса, отримаємо \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \) , \(\ n \in Z \)

Зробимо зворотну заміну \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^(\ circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

Виразимо \(\ \mathbf(x) \), для початку цього з кожної частини нерівності віднімемо \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \n\in Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

а потім розділимо на 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

Відповідь\(\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \), \ (\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \)

Подвійні тригонометричні нерівності

Завдання

Розв'язати подвійну тригонометричну нерівність \(\ \frac(1)(2)

Рішення

Введемо заміну \(\ t=\frac(x)(2) \), тоді вихідна нерівність набуде вигляду \(\ \frac(1)(2)

Вирішимо його, використовуючи одиничне коло. Так як на одиничному колі синусу відповідає вісь ординат, виділимо на ній безліч ординати яких більше \(\ x=\frac(1)(2) \) і менше або одно \(\ \ frac(\sqrt(2))(2 ) \) . На малюнку 8 ці точки будуть розташовані на дугах \(\ P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) та \(\ P_(t_(3)) \), \( \P_(t_(4))\). Знайдемо значення \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) , здійснюючи обхід проти годинникової стрілки, причому \ (\ t_(1) \(\ t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3 \) pi) (4) \); (6) \)

Таким чином, отримуємо два інтервали, які, враховуючи періодичність функції синус, можна записати наступним чином \(\ frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi)(4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Зробимо зворотну заміну \(\ t=\frac(x)(2) \frac(\pi)(6)+2 \pi k \ leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \), \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi kВиразимо \(\ \mathbf( x) \), для цього помножимо всі сторони шпалери нерівностей на 2, отримаємо \(\ \frac(\pi)(3)+4 \pi k \leq x

Відповідь\(\ x \in\left(\frac(\pi)(3)+4 \pi k ; \frac(\pi)(2)+4 \pi k\right] \cup\left[\frac( 3 \pi)(2)+4 \pi k ; \frac(5 \pi)(3)+4 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

Проект з алгебри «Розв'язання тригонометричних нерівностей» Виконала учениця 10 «Б» класу Козачкова Юлія Керівник: учитель математики Кочакова Н.М.

Мета Закріпити матеріал на тему «Розв'язання тригонометричних нерівностей» та створити пам'ятку учням для підготовки до майбутнього іспиту.

Завдання Узагальнити матеріал на цю тему. Систематизувати отриману інформацію. Розглянути цю тему в ЄДІ.

Актуальність Актуальність обраної мною теми полягає в тому, що завдання на тему «Розв'язання тригонометричних нерівностей» входять до завдань ЄДІ.

Тригонометричні нерівності Нерівність - це відношення, що пов'язує два числа або вирази за допомогою одного із знаків: (більше); ≥ (більше або рівно). Тригонометрична нерівність – це нерівність, що містить тригонометричні функції.

Тригонометричні нерівності Розв'язання нерівностей, що містять тригонометричні функції, зводиться, як правило, до вирішення найпростіших нерівностей виду: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a, ctg x

Алгоритм розв'язання тригонометричних нерівностей На осі, що відповідає заданій тригонометричній функції, відзначити це числове значенняцієї функції. Провести через зазначену точку пряму, що перетинає одиничне коло. Виділити точки перетину прямої та кола з урахуванням суворого чи не суворого знака нерівності. Виділити дугу кола, на якому розташовані розв'язки нерівності. Визначити значення кутів у початковій та кінцевій точках дуги кола. Записати розв'язання нерівності з урахуванням періодичності заданої тригонометричної функції.

Формули розв'язання тригонометричних нерівностей sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn; + πn). tgx a; x (πn; arctg + πn). ctgx

Графічне розв'язання основних тригонометричних нерівностей sinx >a

Графічне вирішення основних тригонометричних нерівностей sinx

Графічне розв'язання основних тригонометричних нерівностей cosx >a

Графічне вирішення основних тригонометричних нерівностей cosx

Графічне розв'язання основних тригонометричних нерівностей tgx >a

Графічне вирішення основних тригонометричних нерівностей tgx

Графічне розв'язання основних тригонометричних нерівностей ctgx >a

Графічне вирішення основних тригонометричних нерівностей ctgx

Способи розв'язання тригонометричних нерівностей Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою числового кола; Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою графіка функції. :

Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою числового кола Приклад 1: Відповідь:

Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою числового кола Приклад 1: Відповідь:

Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою графіка функції Приклад: Відповідь:

Підсумок роботи Я закріпила свої знання на тему «Рішення тригонометричних нерівностей». Систематизувала отриману інформацію на цю тему для зручності її сприйняття: вивела алгоритм розв'язання тригонометричних нерівностей; позначила два способи розв'язання; продемонструвала приклади рішень. :

Підсумок роботи Також як готовий продукт до мого проекту додається «Пам'ятка учням при підготовці до іспиту з алгебри». Документ Microsoft Office Word (2). docx:

Використовувана література Підручник з алгебри за 10 клас «Алгебра та початки аналізу» за редакцією А.Н.Колмогорова http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www.calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

Нерівності – це співвідношення виду a › b, де a та b – є вирази, що містять як мінімум одну змінну. Нерівності можуть бути строгими – ‹, › та нестрогими – ≥, ≤.

Тригонометричні нерівності є виразами виду: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в яких F(x) представлено однією або декількома тригонометричними функціями.

Прикладом найпростішої тригонометричної нерівності є: sin x ‹ 1/2. Вирішувати подібні завдання прийнято графічно, для цього розроблено два способи.

Спосіб 1 - Вирішення нерівностей за допомогою побудови графіка функції

Щоб знайти проміжок, що задовольняє умовам нерівність sin x ‹ 1/2, необхідно виконати такі дії:

1. На координатній осі побудувати синусоїду y = sin x.
2. На тій же осі накреслити графік числового аргументу нерівності, тобто пряму, що проходить через точку ординати ОY.
3. Відзначити точки перетину двох графіків.
4. Заштрихувати відрізок є рішенням прикладу.

Коли у виразі є суворі знаки, точки перетину не є рішеннями. Оскільки найменший позитивний період синусоїди дорівнює 2π, то запишемо відповідь так:

Якщо знаки виразу несуворі, то інтервал рішень необхідно укласти у квадратні дужки — . Відповідь завдання можна також записати у вигляді чергової нерівності:

Спосіб 2 - Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола

Подібні завдання легко вирішуються і за допомогою тригонометричного кола. Алгоритм пошуку відповідей дуже простий:

1. Спочатку варто накреслити одиничне коло.
2. Потім слід зазначити значення аркфункції аргументу правої частини нерівності на дузі кола.
3. Потрібно провести пряму проходить через значення аркфункції паралельно осі абсциси (ОХ).
4. Після залишиться тільки виділити дугу кола, що є безліччю розв'язків тригонометричної нерівності.
5. Записати відповідь у потрібній формі.

Розберемо етапи розв'язання з прикладу нерівності sin x › 1/2. На колі відмічені точки α та β – значення

Точки дуги, розташовані вище α та β, є інтервалом розв'язання заданої нерівності.

Якщо потрібно вирішити приклад для cos, то дуга відповідей розташовуватиметься симетрично осі OX, а не OY. Розглянути різницю між інтервалами рішень для sin та cos можна на схемах, наведених нижче за текстом.

Графічні рішення для нерівностей тангенсу та котангенсу відрізнятимуться і від синуса, і від косинуса. Це зумовлено властивостями функцій.

Арктангенс і арккотангенс є дотичні до тригонометричного кола, а мінімальний позитивний період для обох функцій дорівнює π. Щоб швидко і правильно користуватися другим способом, потрібно запам'ятати на якій осі відкладаються значення sin, cos, tg і ctg.

Дотична тангенс проходить паралельно осі OY. Якщо відкласти значення arctg a на одиничному колі, друга необхідна точка буде розташовано в діагональній чверті. Кути

Є точками розриву для функції, оскільки графік прагне них, але не досягає.

Що стосується котангенсом дотична проходить паралельно осі OX, а функція переривається у точках π і 2π.

Складні тригонометричні нерівності

Якщо аргумент функції нерівності представлений не просто змінною, а цілим виразом, що містить невідому, то мова вже йде про складній нерівності. Хід і порядок його вирішення дещо відрізняються від способів, описаних вище. Допустимо необхідно знайти рішення наступної нерівності:

Графічне рішення передбачає побудову звичайної синусоїди y = sin x за довільно вибраними значеннями x. Розрахуємо таблицю з координатами для опорних точок графіка:

В результаті має вийти красива крива.

Для простоти пошуку рішення замінимо складний аргумент функції

Перетин двох графіків дозволяє визначити область значень, за яких виконується умова нерівності.

Знайдений відрізок є рішенням для змінної t:

Однак, мета завдання знайти всі можливі варіанти невідомої x:

Вирішити подвійну нерівність досить просто, потрібно перенести π/3 в крайні частини рівняння і зробити необхідні обчислення:

Відповідь на завданнябуде виглядати як інтервал для суворої нерівності:

Подібні завдання вимагатиме досвіду та вправності учнів у поводженні з тригонометричними функціями. Чим більше тренувальних завдань буде вирішено у процесі підготовки, тим простіше та швидше школяр знайде відповідь на питання ЄДІтіста.

Міністерство освіти Республіки Білорусь

Заклад освіти

«Гомельський державний університет

імені Франциска Скорини»

Математичний факультет

Кафедра алгебри та геометрії

Допущена до захисту

Зав. кафедрою Шеметков Л.А.

Тригонометричні рівняння та нерівності

Курсова робота

Виконавець:

студент групи М-51

С.М. Горський

Науковий керівник к.ф.- м.н.,

старший викладач

В.Г. Сафонов

Гомель 2008

ВСТУП

ОСНОВНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

Розкладання на множники

Розв'язання рівнянь перетворенням твору тригонометричних функцій на суму

Розв'язання рівнянь із застосуванням формул потрійного аргументу

Примноження на деяку тригонометричну функцію

НЕСТАНДАРТНІ ТРИГОНОМЕТРІЧНІ РІВНЯННЯ

ТРИГОНОМЕТРичні нерівності

ВІДБІР КОРНІВ

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

У давнину тригонометрія виникла у зв'язку з потребами астрономії, землемірства та будівельної справи, тобто мала чисто геометричний характер і представляла головним чином<<исчисление хорд>>. Згодом у неї почали вкраплюватись деякі аналітичні моменти. У першій половині 18 століття стався різкий перелом, після чого тригонометрія прийняла новий напрям і змістилася у бік математичного аналізу. Саме в цей час тригонометричні залежності почали розглядати як функції.

Тригонометричні рівняння одна з найскладніших тем у шкільному курсі математики. Тригонометричні рівняння виникають під час вирішення завдань з планіметрії, стереометрії, астрономії, фізики та інших областях. Тригонометричні рівняння та нерівності рік у рік зустрічаються серед завдань централізованого тестування.

Найважливіша відмінність тригонометричних рівняньвід алгебраїчних полягає в тому, що в рівняннях алгебри кінцеве число коренів, а в тригонометричних --- нескінченнещо ускладнює відбір коренів. Ще однією специфікою тригонометричних рівнянь є непомітність форми запису відповіді.

Ця дипломна робота присвячена методам розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей.

Дипломна робота складається із 6 розділів.

У першому розділі наведено основні теоретичні відомості: визначення та властивості тригонометричних та зворотних тригонометричних функцій; таблиця значень тригонометричних функцій деяких аргументів; вираз тригонометричних функцій через інші тригонометричні функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виразів, що особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основних тригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формули, що спрощують вирази, що містять зворотні тригонометричні функції.

У другому розділі викладено основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь. Розглянуто розв'язок елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники, методи зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних. Зважаючи на те, що рішення тригонометричних рівнянь можна записати кількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними, що може<<сбить с толку>> при вирішенні тестів, розглянуто загальну схему розв'язання тригонометричних рівнянь і докладно розглянуто перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.

У третьому розділі розглядаються нестандартні тригонометричні рівняння, розв'язання яких ґрунтується на функціональному підході.

У четвертому розділі розглядаються тригонометричні нерівності. Детально розглянуті методи розв'язання елементарних тригонометричних нерівностей, як на одиничному колі, так і графічним методом. Описано процес розв'язання неелементарних тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності та вже добре відомий школярам метод інтервалів.

У п'ятому розділі представлені найскладніші завдання: коли необхідно як вирішити тригонометричне рівняння, а й зі знайдених коренів відібрати коріння, задовольняють якомусь умові. У цьому розділі наведено рішення типових завдань на вибір коренів. Наведено необхідні теоретичні відомості для відбору коренів: розбиття безлічі цілих чисел на підмножини, що не перетинаються, розв'язання рівнянь у цілих числах (діафантових).

У шостому розділі подано завдання для самостійного рішення, оформлені у вигляді тесту. У 20 завданнях тесту наведено найскладніші завдання, які можуть зустрітись на централізованому тестуванні.

Елементарні тригонометричні рівняння

Елементарні тригонометричні рівняння -- це рівняння виду , де -- одна з тригонометричних функцій: , , , .

Елементарні тригонометричні рівняння мають безліч коренів. Наприклад, рівняння задовольняють такі значення: , , , і т.д. Загальна формулаза якою знаходяться всі корені рівняння , де , така:

Тут може приймати будь-які цілі значення, кожному їх відповідає певний корінь рівняння; у цій формулі (як і в інших формулах, за якими вирішуються елементарні тригонометричні рівняння) називають параметром. Записують зазвичай , підкреслюючи тим самим, що параметр приймати будь-які цілі значення.

Рішення рівняння , де знаходяться за формулою

Рівняння вирішується застосовуючи формулу

а рівняння --- за формулою

Особливо відзначимо деякі окремі випадки елементарних тригонометричних рівнянь, коли рішення може бути записано без застосування загальних формул:

При розв'язанні тригонометричних рівнянь важливу рольграє період тригонометричних функцій. Тому наведемо дві корисні теореми:

Теорема Якщо --- основний період функції, то число є основним періодом функції.

Періоди функцій і називаються сумірними, якщо є натуральні числа і , що .

Теорема Якщо періодичні функції і , мають сумірні і , всі вони мають загальний період , що є періодом функцій , , .

У теоремі йдеться про те, що є періодом функції , , , і не обов'язково є основним періодом. Наприклад, основний період функцій і --- , а основний період їхнього твору --- .

Введення допоміжного аргументу

Стандартним шляхом перетворення виразів виду є наступний прийом: нехай --- кут, що задається рівностями , . Для будь-яких і такий кут існує. Таким чином . Якщо, або,,, в інших випадках.

Схема розв'язання тригонометричних рівнянь

Основна схема, якою ми керуватимемося при розв'язанні тригонометричних рівнянь наступна:

Розв'язання заданого рівняння зводиться до розв'язання елементарних рівнянь. Засоби рішення --- перетворення, розкладання на множники, заміна невідомих. Провідний принцип -- не втрачати коріння. Це означає, що при переході до наступного рівняння (рівнянь) ми не побоюємося появи зайвого (стороннього) коріння, а піклуємося лише про те, щоб кожне наступне рівняння нашого "ланцюжка" (або сукупність рівнянь у разі розгалуження) було наслідком попереднього. Одним із можливих методів відбору коренів є перевірка. Відразу зауважимо, що у випадку тригонометричних рівнянь труднощі, пов'язані з відбором коренів, з перевіркою, як правило, різко зростають порівняно з рівняннями алгебри. Адже перевіряти доводиться серії, що складаються з нескінченної кількості членів.

Особливо слід сказати про заміну невідомих під час вирішення тригонометричних рівнянь. Найчастіше після необхідної заміни виходить алгебраїчне рівняння. Більше того, не такі вже й рідкісні рівняння, які, хоч і є тригонометричними по зовнішньому вигляду, по суті, такими не є, оскільки вже після першого кроку --- замінизмінних --- перетворюються на алгебраїчні, а повернення до тригонометрії відбувається лише на етапі розв'язання елементарних тригонометричних рівнянь.

Ще раз нагадаємо: заміну невідомого слід робити за першої можливості, рівняння, що вийшло після заміни, необхідно вирішити до кінця, включаючи етап відбору коренів, а вже потім повернеться до початкового невідомого.

Одна з особливостей тригонометричних рівнянь полягає в тому, що відповідь у багатьох випадках може бути записана різними способами. Навіть для вирішення рівняння відповідь може бути записана так:

1) у вигляді двох серій: , , ;

2) у стандартній формі є об'єднання зазначених вище серій: , ;

3) оскільки , то відповідь можна записати у вигляді , . (Надалі наявність параметра , , або в записі відповіді автоматично означає, що цей параметр набуває всіляких цілісних значень. Винятки будуть обговорюватися.)

Очевидно, що трьома перерахованими випадками не вичерпуються всі можливості для запису відповіді рівняння, що розглядається (їх нескінченно багато).

Наприклад, при справедливій рівності . Отже, у двох перших випадках, якщо ми можемо замінити на .

Зазвичай відповідь записується на підставі пункту 2. Корисно запам'ятати таку рекомендацію: якщо на вирішенні рівняння робота не закінчується, необхідно провести дослідження, відбір коренів, то найбільш зручна форма запису, зазначена в пункті 1. (Аналогічну рекомендацію слід дати і для рівняння .)

Розглянемо приклад, що ілюструє сказане.

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Найбільш очевидним є наступний шлях. Це рівняння розпадається на два: і . Вирішуючи кожну з них і поєднуючи отримані відповіді, знайдемо .

Інший шлях.Оскільки , то замінюючи і за формулами зниження ступеня. Після невеликих перетворень отримаємо, звідки .

На перший погляд ніяких особливих переваг друга формула в порівнянні з першою не має. Однак, якщо візьмемо, наприклад, то виявиться, що, тобто. рівняння має рішення, тоді як перший спосіб нас призводить до відповіді . "Побачити" та довести рівність не так просто.

Відповідь. .

Перетворення та об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь

Будемо розглядати арифметичну прогресію, що нескінченно тягнеться в обидві сторони. Члени цієї прогресії можна розбити на дві групи членів, що розташовуються праворуч і ліворуч від деякого члена, що називається центральним або нульовим членом прогресії.

Фіксуючи один із членів нескінченної прогресії нульовим номером, ми повинні будемо вести подвійну нумерацію для всіх членів, що залишилися: позитивну для членів, розташованих праворуч, і негативну для членів, розташованих ліворуч від нульового.

У випадку, якщо різниця прогресії , нульовий член , формула будь-якого (-го) члена нескінченної арифметичної прогресії представляє вид:

Перетворення формули для будь-якого члена нескінченної арифметичної прогресії

1. Якщо до нульового члена додати чи відібрати різницю прогресії , від цього прогресія не зміниться, лише переміститься нульовий член, тобто. зміниться нумерація членів.

2. Якщо коефіцієнт при змінній величині помножити на , то від цього відбудеться лише перестановка правої та лівої груп членів.

3. Якщо послідовні члени нескінченної прогресії

наприклад , , , ..., , зробити центральними членами прогресій з однаковою різницею, що дорівнює :

то прогресія і ряд прогресій висловлюють собою одні й самі числа.

приклад Ряд може бути замінений наступними трьома рядами: , , .

4. Якщо нескінченних прогресій з однаковою різницею мають центральними членами числа, що утворюють арифметичну прогресію з різницею , ці рядів може бути замінені однією прогресією з різницею , і з центральним членом, рівним кожному з центральних членів даних прогресій, тобто. якщо

то ці прогресії об'єднуються в одну:

приклад , , , обидві об'єднуються в одну групу, оскільки .

Для перетворення груп, що мають загальні рішення, в групи, загальних рішень, що не мають дані групи, розкладають на групи із загальним періодом, а потім прагнути об'єднати групи, що виходять, виключивши повторювані.

Розкладання на множники

Метод розкладання на множники полягає в наступному: якщо

то всяке рішення рівняння

є рішення сукупності рівнянь

Зворотне твердження взагалі кажучи невірно: не всяке рішення сукупності є рішенням рівняння. Це пояснюється тим, що розв'язання окремих рівнянь можуть не входити до області визначення функції .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Використовуючи основне тригонометрична тотожність, рівняння представимо у вигляді

Відповідь. ; .

Перетворення суми тригонометричних функцій на твір

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Застосуємо формулу, отримаємо рівносильне рівняння

Відповідь. .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.У цьому випадку, перш ніж застосовувати формули суми тригонометричних функцій, слід використати формулу приведення . У результаті отримаємо рівносильне рівняння

Відповідь. , .

Розв'язання рівнянь притвором твору тригонометричних функцій у суму

При розв'язанні низки рівнянь застосовуються формули.

приклад Вирішити рівняння

Рішення.

Відповідь. , .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Застосувавши формулу, отримаємо рівносильне рівняння:

Відповідь. .

Розв'язання рівнянь із застосуванням формул зниження ступеня

За розв'язання широкого кола тригонометричних рівнянь ключову роль відіграють формули.

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Застосовуючи формулу, отримаємо рівносильне рівняння.

Відповідь. ; .

Розв'язання рівнянь із застосуванням формул потрійного аргументу

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Застосуємо формулу, отримаємо рівняння

Відповідь. ; .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Застосуємо формули зниження ступеня отримаємо: . Застосовуючи отримуємо:

Відповідь. ; .

Рівність однойменних тригонометричних функцій

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.

Відповідь. , .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Перетворимо рівняння.

Відповідь. .

приклад Відомо, що й задовольняють рівняння

Знайти суму.

Рішення.З рівняння випливає, що

Відповідь. .

Розглянемо суми виду

Дані суми можна перетворити на твір, домноживши та розділивши їх на , тоді отримаємо

Зазначений прийом може бути використаний при вирішенні деяких тригонометричних рівнянь, проте слід мати на увазі, що в результаті можлива поява сторонніх коренів. Наведемо узагальнення даних формул:

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Видно, що множина є рішенням вихідного рівняння. Тому множення лівої та правої частини рівняння не призведе до появи зайвого коріння.

Маємо .

Відповідь. ; .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Домножимо ліву та праву частини рівняння на та застосувавши формули перетворення твору тригонометричних функцій у суму, пролучимо

Це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь і , звідки і .

Так як коріння рівняння не є корінням рівняння, то з одержаних множин рішень слід виключити. Значить у багатьох потрібно виключити.

Відповідь.та , .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Перетворюємо вираз:

Рівняння запишеться у вигляді:

Відповідь. .

Зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних

Зведені до квадратних

Якщо рівняння має вигляд

то заміна приводить його до квадратного, оскільки () в.

Якщо замість доданку буде, то потрібна заміна буде.

Рівняння

зводиться до квадратного рівняння

уявленням як . Легко перевірити, що з яких , є корінням рівняння, і, зробивши заміну , рівняння зводиться до квадратного.

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Перенесемо в ліву частину, замінимо її на , і виразимо через і .

Після спрощень отримаємо: . Розділимо почленно на , зробимо заміну:

Повертаючись до , знайдемо .

Рівняння, однорідні щодо ,

Розглянемо рівняння виду

де , , , ..., , --- дійсні числа. У кожному доданку лівої частини рівняння ступеня одночленів рівні, т. е. сума ступенів синуса і косинуса та сама і дорівнює. Таке рівняння називається одноріднимщодо і , а число називається показником однорідності .

Ясно, що якщо , то рівняння набуде вигляду:

рішеннями якого є значення , у яких , т. е. числа , . Друге рівняння, записане в дужках, також є однорідним, але ступеня на 1 нижче.

Якщо ж , то ці числа не є корінням рівняння.

При отримаємо: , і ліва частина рівняння (1) набуває значення .

Отже, при , і тому можна розділити обидві частини рівняння на . В результаті отримуємо рівняння:

яке, підстановкою легко зводиться до алгебраїчного:

Однорідні рівняння з показником однорідності 1. При маємо рівняння.

Якщо , це рівняння рівнозначно рівнянню , , звідки , .

приклад Розв'яжіть рівняння.

Рішення.Це рівняння однорідне першого ступеня. Розділимо обидві його частини на отримаємо: , , , .

Відповідь. .

приклад При отримаємо однорідне рівняння виду

Рішення.

Якщо тоді розділимо обидві частини рівняння на , отримаємо рівняння , яке підстановкою легко наводиться до квадратного: . Якщо , то рівняння має дійсне коріння, . Вихідне рівняння матиме дві групи рішень: , , .

Якщо , то рівняння немає рішень.

приклад Розв'яжіть рівняння.

Рішення.Це однорідне рівняння другого ступеня. Розділимо обидві честі рівняння на , отримаємо: . Нехай тоді , , . , , ; , , .

Відповідь. .

До рівняння виду зводиться рівняння

Для цього достатньо скористатися тотожністю

Зокрема, рівняння зводиться до однорідного, якщо замінити на тоді отримаємо рівносильне рівняння:

приклад Розв'яжіть рівняння.

Рішення.Перетворимо рівняння до однорідного:

Розділимо обидві частини рівняння на , Отримаємо рівняння:

Нехай тоді приходимо до квадратного рівняння: , , , , .

Відповідь. .

приклад Розв'яжіть рівняння.

Рішення.Зведемо обидві частини рівняння квадрат, враховуючи, що вони мають позитивні значення: , ,

Нехай тоді отримаємо , , .

Відповідь. .

Рівняння, які вирішуються за допомогою тотожностей

Корисно знати такі формули:

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Використовуючи, отримуємо

Відповідь.

Пропонуємо не самі формули, а спосіб їхнього виведення:

отже,

Аналогічно, .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Перетворюємо вираз:

Рівняння запишеться у вигляді:

Приймаючи, отримуємо. , . Отже

Відповідь. .

Універсальна тригонометрична підстановка

Тригонометричне рівняння виду

де --- раціональна функціяза допомогою фомул -- , а так само за допомогою формул -- можна звести до раціонального рівняння щодо аргументів , , , , після чого рівняння може бути зведене до раціонального алгебраічного рівняння щодо за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки

Слід зазначити, що застосування формул може призводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки не визначено в точках, тому в таких випадках потрібно перевіряти, чи є кути корінням вихідного рівняння.

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.За умовою завдання. Застосувавши формули і зробивши заміну, отримаємо

звідки і, отже, .

Рівняння виду

Рівняння виду , де --- багаточлен, вирішуються за допомогою замін невідомих

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Зробивши заміну та враховуючи, що , отримаємо

звідки , . --- сторонній корінь, т.к. . Корінням рівняння є.

Використання обмеженості функцій

У практиці централізованого тестування негаразд рідко зустрічаються рівняння, вирішення яких полягає в обмеженості функцій і . Наприклад:

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Оскільки , , то ліва частина не перевищує і дорівнює, якщо

Для знаходження значень , що задовольняють обох рівнянь, надійде так. Вирішимо одне з них, потім знайдених значень відберемо ті, які задовольняють і іншому.

Почнемо з другого: , . Тоді , .

Зрозуміло, що для парних буде .

Відповідь. .

Інша ідея реалізується при вирішенні наступного рівняння:

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Скористаємося властивістю показової функції: , .

Склавши почленно ці нерівності матимемо:

Отже, ліва частина даного рівняння дорівнює тоді і тільки тоді, коли виконуються дві рівності:

тобто може набувати значень , , , а може набувати значень , .

Відповідь. , .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення., . Отже, .

Відповідь. .

приклад Вирішити рівняння

Рішення.Позначимо, тоді з визначення зворотної тригонометричної функції маємо і .

Оскільки , з рівняння випливає нерівність , тобто . . Оскільки і , і . Однак і тому.

Якщо і , то . Оскільки раніше було встановлено, що , то .

Відповідь. , .

приклад Вирішити рівняння

Рішення.Області допустимих значень рівняння є .

Спочатку покажемо, що функція

За будь-яких може приймати тільки позитивні значення.

Представимо функцію так: .

Оскільки , має місце , тобто . .

Отже, для доказу нерівності необхідно показати, що . З цією метою зведемо в куб обидві частини цієї нерівності, тоді

Отримана чисельна нерівність свідчить, що . Якщо при цьому ще врахувати, що , то ліва частина рівняння невід'ємна.

Розглянемо тепер праву частину рівняння.

Так як , то

Однак відомо, що . Звідси випливає, що , тобто. права частина рівняння вбирається у . Раніше було доведено, що ліва частина рівняння невід'ємна, тому рівність може бути тільки в тому випадку, коли обидві його частини рівні , а це можливо лише при .

Відповідь. .

приклад Вирішити рівняння

Рішення.Позначимо і . Застосовуючи нерівність Коші-Буняковського, отримуємо . Звідси слідує що . З іншого боку має місце . Отже, рівняння немає коренів.

Відповідь. .

приклад Вирішити рівняння:

Рішення.Перепишемо рівняння у вигляді:

Відповідь. .

Функціональні методи розв'язання тригонометричних та комбінованих рівнянь

Не всяке рівняння результаті перетворень може бути зведено до рівняння тієї чи іншої стандартного виду, котрій існує певний метод решения. У таких випадках виявляється корисним використовувати такі властивості функцій і , як монотонність, обмеженість, парність, періодичність та ін Так, якщо одна з функцій зменшується, а друга зростає на проміжку , то при наявності у рівняння кореня на цьому проміжку, цей корінь єдиний, і тоді його, наприклад, можна знайти підбором. Якщо ж функція обмежена зверху, причому , а функція обмежена знизу, причому , то рівняння рівносильне системі рівнянь

приклад Вирішити рівняння

Рішення.Перетворимо вихідне рівняння до виду

і вирішимо його як квадратне щодо. Тоді отримаємо,

Вирішимо перше рівняння сукупності. Зваживши на обмеженість функції , приходимо до висновку, що рівняння може мати корінь тільки на відрізку . У цьому проміжку функція зростає, а функція зменшується. Отже, якщо це рівняння має корінь, він єдиний. Підбором знаходимо.

Відповідь. .

приклад Вирішити рівняння

Рішення.Нехай і тоді вихідне рівняння можна записати у вигляді функціонального рівняння. Оскільки функція непарна, то . У такому разі отримуємо рівняння.

Оскільки , і монотонна на , то рівняння дорівнює рівнянню , тобто. , що має єдиний корінь.

Відповідь. .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.На підставі теореми про похідну складної функціїясно, що функція спадна (функція спадна, зростаюча, спадна). Звідси зрозуміло, що функція визначена на , спадна. Тому дане рівняннямає не більше одного кореня. Так як , то

Відповідь. .

приклад Вирішити рівняння .

Рішення.Розглянемо рівняння на трьох проміжках.

а) Нехай. Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню. Яке на проміжку рішень немає, т. до. , , а . На проміжку вихідне рівняння так само немає коренів, т. до. , а .

б) Нехай. Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню

корінням якого на проміжку є числа , , , .

в) Нехай. Тоді на цій множині вихідне рівняння рівносильне рівнянню

Яке на проміжку рішень немає, т. до. , а . На проміжку рівняння так само рішень немає, т. до. , , а .

Відповідь. , , , .

Метод симетрії

Метод симетрії зручно застосовувати, як у формулюванні завдання присутня вимога єдиності рішення рівняння, нерівності, системи тощо. або точну вказівку числа рішень. При цьому слід виявити якусь симетрію заданих виразів.

Потрібно також враховувати різноманітність різних можливих видів симетрії.

Не менш важливим є чітке дотримання логічних етапів у міркуваннях із симетрією.

Зазвичай симетрія дозволяє встановити лише необхідні умови, а потім потрібна перевірка їхньої достатності.

приклад Знайти всі значення параметра , у яких рівняння має єдине рішення.

Рішення.Зауважимо, що і --- парніфункції, тому ліва частина рівняння є парна функція.

Значить якщо --- Рішеннярівняння, тобто рішення рівняння. Якщо --- єдинерішення рівняння, то, необхідно , .

Відберемо можливізначення , вимагаючи, щоб було коренем рівняння.

Відразу зазначимо, що інші значення що неспроможні задовольняти умові завдання.

Але поки що не відомо, чи всі відібрані насправді задовольняють умову завдання.

Достатність.

1) , рівняння набуде вигляду .

2) , рівняння набуде вигляду:

Очевидно, що для всіх і . Отже, останнє рівняння рівносильне системі:

Тим самим ми довели, що при , рівняння має єдине рішення.

Відповідь. .

Рішення з дослідженням функції

приклад Доведіть, що всі рішення рівняння

Цілі числа.

Рішення.Основний період вихідного рівняння дорівнює. Тому спочатку досліджуємо це рівняння на відрізку.

Перетворимо рівняння до виду:

За допомогою мікрокалькулятора отримуємо:

Якщо , то з попередніх рівностей отримуємо:

Розв'язавши отримане рівняння, отримаємо: .

Виконані обчислення дають змогу припустити, що корінням рівняння, що належать відрізку , є , і .

Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу. Таким чином, доведено, що корінням рівняння є лише цілі числа .

приклад Розв'яжіть рівняння .

Рішення.Знайдемо основний період рівняння. У функції основний період дорівнює. Основний період функції дорівнює. Найменше загальне кратне чисел і дорівнює. Тому основний період рівняння дорівнює. Нехай.

Вочевидь є рішенням рівняння. На інтервалі. Функція негативна. Тому інше коріння рівняння слід шукати тільки на інтервалах і .

За допомогою мікрокалькулятора спочатку знайдемо наближені значення коренів рівняння. Для цього складаємо таблицю значень функції на інтервалах та ; тобто на інтервалах та .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

З таблиці легко вбачаються такі гіпотези: корінням рівняння, що належать відрізку, є числа: ; ; . Безпосередня перевірка підтверджує цю гіпотезу.

Відповідь. ; ; .

Розв'язання тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола

При розв'язанні тригонометричних нерівностей виду , де -- одна з тригонометричних функцій, зручно використовувати тригонометричне коло для того, щоб найбільш наочно уявити рішення нерівності і записати відповідь. Основним методом розв'язання тригонометричних нерівностей є зведення їх до найпростіших нерівностей типу. Розберемо з прикладу, як вирішувати такі нерівності.

приклад Розв'яжіть нерівність.

Рішення.Намалюємо тригонометричне коло і відзначимо у ньому точки, котрим ордината перевершує .

Для вирішення цієї нерівності будуть . Зрозуміло також, якщо деяке число буде відрізнятися від якого-небудь числа із зазначеного інтервалу на , то також буде не менше . Отже, до кінців знайденого відрізка рішення потрібно додати . Остаточно, отримуємо, що рішеннями вихідної нерівності будуть усі .

Відповідь. .

Для вирішення нерівностей з тангенсом та котангенсом корисно поняття про лінію тангенсів та котангенсів. Такими є прямі і відповідно (на малюнку (1) і (2)), що стосуються тригонометричного кола.

Легко помітити, що якщо побудувати промінь з початком на початку координат, що становить кут з позитивним напрямом осі абсцис, то довжина відрізка від точки до точки перетину цього променя з лінією тангенсів точно дорівнює тангенсу кута, який становить цей промінь з віссю абсцис. Аналогічне спостереження має місце й у котангенсу.

приклад Розв'яжіть нерівність.

Рішення.Позначимо , тоді нерівність набуде вигляду найпростішого: . Розглянемо інтервал довжиною, що дорівнює найменшому позитивному періоду (НВП) тангенсу. На цьому відрізку за допомогою лінії тангенсів встановлюємо, що . Згадуємо тепер, що необхідно додати , оскільки функції НПП . Отже, . Повертаючись до змінної , отримуємо, що .

Відповідь. .

Нерівності із зворотними тригонометричними функціями зручно вирішувати з використанням графіків зворотних тригонометричних функцій. Покажемо, як це робиться на прикладі.

Розв'язання тригонометричних нерівностей графічним методом

Зауважимо, що якщо --- періодичнафункція, то для розв'язання нерівності необхідно визначити її рішення на відрізку, довжина якого дорівнює періоду функції . Всі рішення вихідної нерівності будуть складатися зі знайдених значень, а також усіх, що відрізняються від знайдених на будь-яку кількість періодів функції.

Розглянемо розв'язання нерівності ().

Оскільки , то при нерівність рішень немає. Якщо , то безліч розв'язків нерівності --- безліч всіх дійсних чисел.

Нехай. Функція синус має найменший позитивний період, тому нерівність можна вирішити спочатку на відрізку завдовжки, наприклад, на відрізку. Будуємо графіки функцій та (). задаються нерівностями виду: і, звідки,

У роботі були розглянуті методи розв'язання тригонометричних рівнянь і нерівностей, як найпростіших, і олімпіадного рівня. Були розглянуті основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей, причому, як специфічні --- характернітільки для тригонометричних рівнянь і нерівностей,-- так і загальні функціональні методи розв'язання рівнянь і нерівностей, стосовно тригонометричних рівнянь.

У дипломній роботі наведено основні теоретичні відомості: визначення та властивості тригонометричних та зворотних тригонометричних функцій; вираз тригонометричних функцій через інші тригонометричні функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виразів, що особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основних тригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формули, що спрощують вирази, що містять зворотні тригонометричні функції. Розглянуто розв'язок елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники, методи зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних. Зважаючи на те, що рішення тригонометричних рівнянь можна записати декількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними, розглянуто загальну схему розв'язання тригонометричних рівнянь і детально розглянуто перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь. Детально розглянуті методи розв'язання елементарних тригонометричних нерівностей, як на одиничному колі, так і графічним методом. Описано процес розв'язання неелементарних тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності та вже добре відомий школярам метод інтервалів. Наведено рішення типових завдань відбір коренів. Наведено необхідні теоретичні відомості для відбору коренів: розбиття безлічі цілих чисел на підмножини, що не перетинаються, розв'язання рівнянь у цілих числах (діафантових).

Результати даної дипломної роботи можуть бути використані як навчальний матеріал при підготовці курсових та дипломних робіт, при складанні факультативів для школярів, так само робота може застосовуватися при підготовці учнів до вступних іспитів та централізованого тестування.

Вигодський Я.Я., Довідник з елементарної математики. /Вигодський Я.Я. --- М: Наука, 1970.

Ігудісман О., Математика на усному іспиті / Ігудісман О. --- М: Айріс прес, Рольф, 2001.

Азаров А.І., рівняння/Азаров А.І., Гладун О.М., Федосенко В.С. --- Мн.: Трівіум, 1994.

Литвиненко В.М., Практикум з елементарної математики / Литвиненко В.М.--- М.: Просвітництво, 1991.

Шаригін І.Ф., Факультативний курс з математики: вирішення завдань / Шаригін І.Ф., Голубєв В.І. --- М.: Просвітництво, 1991.

Бардушкін Ст, Тригонометричні рівняння. Відбір коренів/В. Бардушкін, А. Прокоф'єв.// Математика, №12, 2005 с. 23-27.

Василевський А.Б., Завдання для позакласної роботи з математики / Васильєв А.Б. --- Мн.: Народна освіта. 1988. --- 176с.

Сапунов П. І., Перетворення та об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь / Сапунов П. І. // Математичне просвітництво, випуск №3, 1935.

Бородін П., Тригонометрія. Матеріали вступних іспитів у МГУ [текст] / П.Бородін, В.Галкін, В.Панферов, І.Сергєєв, В.Тарасов // Математика №1, 2005 с. 36-48.

Самусенко О.В., Математика: Типові помилкиабітурієнтів: Довідковий посібник/Самусенко А.В., Козаченок В.В.--- Мн.: Вища школа, 1991.

Азаров А.І., Функціональний та графічний методи вирішення екзаменаційних завдань/Азаров А.І., Барвенов С.А.,--- Мн.: Аверсев, 2004.