поняття похідної

нехай функція f(x) Визначена на деякому проміжку X. Надамо значенню аргументу в точці x 0 Х довільне збільшення Δ x так, щоб точка x 0 + Δ x також належала X. тоді відповідне приріст функції f (x)складе Δ у = f(x 0 + Δ x) - f(x 0).

Визначення 1. Похідною функції f (x) в точці x 0 називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу при Δ x0 (якщо ця межа існує).

Для позначення похідної функції вживані символи у " (x 0) або f"(x 0):

Якщо в деякій точці x 0 межа (4.1) нескінченний:

то кажуть, що в точці x 0 функція f(x) має нескінченну похідну.

якщо функція f(x) Має похідну в кожній точці безлічі X, то похідна f "(x)також є функцією від аргументу х, визначеної на X.

Геометричний зміст похідної

Для з'ясування геометричного сенсу похідної нам знадобиться визначення дотичної до графіка функції в даній точці.

Визначення 2. дотичній до графіка функції у \u003d f(x) В точці М називається граничне положення січної MN, коли точка N прагне до точки М по кривій f(x).

нехай точка М на кривій f(x) Відповідає значенню аргументу x 0, А точка N - значенню аргументу x 0 + Δ x (Рис. 4.1). З визначення дотичній слід, що для її існування в точці x 0 необхідно, щоб існував межа, який дорівнює куту нахилу дотичній до осі Оx. з трикутника MNA випливає, що

Якщо похідна функції f(x) В точці x 0 існує, то, згідно з (4.1), отримуємо

Звідси випливає наочний висновок про те, що похідна f"(x 0) дорівнює кутовому коефіцієнту (тангенсу кута нахилу до позитивного напрямку осі Ох) дотичній кграфіку функції у = f(x) в точці М(x 0, f(x 0)). При етомуголнаклона дотичній визначається з формули (4.2):

Фізичний зміст похідної

Припустимо, що функція l \u003d f(t) Описує закон руху матеріальної точки по прямій як залежність шляху l від часу t. Тоді різниця Δ l \u003d f (t +Δ t) - f (t) - це шлях, пройдений за інтервал часу Δ t, А відношення Δ l/Δ t - середня швидкість за час Δ t. Тоді межа визначає миттєву швидкість точки в момент часу t як похідну шляху по часу.

У певному сенсі похідну функції у = f (x)можна також трактувати як швидкість зміни функції: чим більше величина f"(x), Тим більше кут нахилу дотичної до кривої, тим крутіше графік f(x) І швидше зростає функція.

Права і ліва похідні

За аналогією з поняттями односторонніх меж функції вводяться поняття правої і лівої похідних функції в точці.

Визначення 3. Правої (лівої) похідної функції у = f (x) в точці x 0 називається правий (лівий) межа відносини (4.1) при Δ x0, якщо ця межа існує.

Для позначення односторонніх похідних використовується наступна символіка:

якщо функція f(x) Має в точці x 0 похідну, то вона має ліву і праву похідні в цій точці, які збігаються.

Наведемо приклад функції, у якій існують односторонні похідні в точці, не рівні один одному. це f(x) = |x|. Дійсно, в точці х \u003d 0 маємо f '+(0) = 1, f "-(0) \u003d -1 (рис. 4.2) і f '+(0) ≠ f '-(0), тобто функція не має похідної при х = 0.

Операцію знаходження похідної функції називають її дифференцированием; функція, що має похідну в точці, називається дифференцируемой.

Зв'язок між дифференцируемого і безперервністю функції в точці встановлює наступна теорема.

ТЕОРЕМА 1 . Якщо функція диференційована в точці x 0, то вона і неперервна в цій точці.

Протилежне твердження невірно: функція f(x), Безперервна в точці, може не мати похідну в цій точці. Таким прикладом є функція у = |x|; вона неперервна в точці x \u003d 0, але не має похідної в цій точці.

Таким чином, вимога дифференцируемости функції є більш сильним, ніж вимога безперервності, оскільки з першого автоматично випливає друге.

Рівняння дотичної до графіка функції в даній точці

Як було зазначено в розділі 3.9, рівняння прямої, що проходить через точку М(x 0, у 0) З кутовим коефіцієнтом kмає вигляд

Нехай задана функція у = f(x). Тоді посколькуее похідна в деякій точці М(x 0, у 0) Є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка цієї функції в точці М, то це означає, що рівняння дотичної до графіка функції f(x) В цій точці має вигляд

Дата: 20.11.2014

Що таке похідна?

Таблиця похідних.

Похідна - одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося з цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань і доказів.

Це знайомство дозволить:

Розуміти суть нескладних завдань з похідною;

Успішно вирішувати ці самі нескладні завдання;

Підготуватися до серйозніших уроків по похідною.

Спочатку - приємний сюрприз.)

Суворе визначення похідною засноване на теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не вимагає таких великих і глибоких знань!

Для успішного виконання більшості завдань в школі і ВУЗі досить знати всього кілька термінів - щоб зрозуміти завдання, і всього кілька правил - щоб його вирішити. І все. Це радує.

Приступимо до знайомства?)

Терміни і позначення.

У елементарної математики багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, піднесення до степеня, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математика стає вищою. Ця нова операція називається диференціювання. Визначення і зміст цієї операції будуть розглянуті в окремих уроках.

Тут же важливо зрозуміти, що диференціювання - це просто математична операція над функцією. Беремо будь-яку функцію і, за певними правилами, перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.

диференціювання - дія над функцією.

похідна - результат цієї дії.

Так само, як, наприклад, сума - результат складання. або приватна - результат ділення.

Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: знайти похідну функції; взяти похідну; продифференцировать функцію; обчислити похідну і т.п. Це все одне і теж. Зрозуміло, бувають і більш складні завдання, де знаходження похідної (диференціювання) буде всього лише одним із кроків вирішення завдання.

Позначається похідна за допомогою штриха вгорі праворуч над функцією. Ось так: y " або f "(x) або S "(t) і так далі.

читається ігрек штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від ТЕ, Ну ви зрозуміли...)

Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х + 3) ", (x 3 )" , (Sinx) " і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми розглядати не будемо.

Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого - навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної - це перетворення функції за певними правилами. Цих правил, на подив, зовсім небагато.

Щоб знайти похідну функції, треба знати всього три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:

1. Таблиця похідних (формули диференціювання).

3. Похідна складної функції.

Почнемо по порядку. У цьому уроці розглянемо таблицю похідних.

Таблиця похідних.

У світі - безліч функцій. Серед цієї безлічі є функції, які найбільш важливі для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як з цеглинок, можна сконструювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції. Саме ці функції і вивчаються в школі - лінійна, квадратична, гіпербола і т.п.

Диференціювання функцій "з нуля", тобто виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики - теж люди, так-так!) Ось і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де все вже готово.)

Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Зліва - елементарна функція, праворуч - її похідна.

	функція y	Похідна функції y y "
1	C (постійна величина)	C "\u003d 0
2	x	x "\u003d 1
3	x n (n - будь-яке число)	(X n) "\u003d nx n-1
	x 2 (n \u003d 2)	(X 2) "\u003d 2x
4	sin x	(Sin x) "\u003d cosx
	cos x	(Cos x) "\u003d - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log ax
	ln x ( a \u003d e)

Рекомендую звернути увагу на третю групу функцій в цій таблиці похідних. похідна статечної функції - одна з найуживаніших формул, якщо тільки не сама вживана! Натяк зрозумілий?) Так, таблицю похідних бажано знати напам'ять. До речі, це не так важко, як може здатися. Спробуйте вирішувати побільше прикладів, таблиця сама і запам'ятається!)

Знайти табличне значення похідної, як ви розумієте, завдання не саме важке. Тому дуже часто в подібних завданнях зустрічаються додаткові фішки. Або в формулюванні завдання, або у вихідній функції, якої в таблиці - ніби й немає ...

Розглянемо кілька прикладів:

1. Знайти похідну функції y \u003d x 3

Такий функції в таблиці немає. Але є похідна статечної функції в загальному вигляді (третя група). У нашому випадку n \u003d 3. Ось і підставляємо трійку замість n і акуратно записуємо результат:

(x 3) "\u003d 3 · x 3-1 = 3x 2

Ось і всі справи.

відповідь: y "\u003d 3x 2

2. Знайти значення похідної функції y \u003d sinx в точці х \u003d 0.

Це завдання означає, що треба спочатку знайти похідну від синуса, а потім підставити значення х \u003d 0 в цю саму похідну. Саме в такому порядку! А то, буває, відразу підставляють нуль в вихідну функцію ... Нас же просять знайти не значення вихідної функції, а значення її похідної. Похідна, нагадаю - це вже нова функція.

За табличці знаходимо синус і відповідну похідну:

y "\u003d (sin x)" \u003d cosx

Підставляємо нуль в похідну:

y "(0) \u003d cos 0 \u003d 1

Це і буде відповідь.

3. Продиференціювали функцію:

Що, вселяє?) Такий функції в таблиці похідних і близько немає.

Нагадаю, що продифференцировать функцію - це просто знайти похідну цієї функції. Якщо забути елементарну тригонометрію, шукати похідну нашої функції досить клопітно. Таблиця не допомагає ...

Але якщо побачити, що наша функція - це косинус подвійного кута, То все відразу налагоджується!

Так Так! Запам'ятайте, що перетворення вихідної функції до диференціювання цілком допускається! І, трапляється, здорово полегшує життя. За формулою косинуса подвійного кута:

Тобто наша хитра функція є не що інше, як y \u003d cosx. А це - таблична функція. Відразу отримуємо:

відповідь: y "\u003d - sin x.

Приклад для просунутих випускників і студентів:

4. Знайти похідну функції:

Такий функції в таблиці похідних немає, зрозуміло. Але якщо згадати елементарну математику, дії зі ступенями ... Те цілком можна спростити цю функцію. Ось так:

А ікс в ступеня одна десята - це вже табличная функція! Третя група, n \u003d 1/10. Прямо за формулою і записуємо:

От і все. Це буде відповідь.

Сподіваюся, що з першим китом диференціювання - таблицею похідних - все ясно. Залишилося розібратися з двома що залишилися китами. У наступному уроці освоїмо правила диференціювання.

Похідної функції називається базовий елемент в диференціальному обчисленні. Цей елемент і є певним результатом застосування якоїсь певної операції диференціювання по відношенню до вихідної функції.

визначення похідної

Для того, щоб зрозуміти, що таке похідна, необхідно знати, що назва функції відбувається безпосередньо від слова «вироблена», тобто утворилася від іншої будь-якої величини. При цьому сам процес визначення похідної якоїсь певної функції має назву - «диференціювання».

Найбільш поширений спосіб подачі і визначення, при використанні теорії меж, незважаючи на те, що вона з'явилася набагато пізніше диференціальних числень. За визначенням даної теорії, похідною називається межа щодо збільшення функцій до приросту аргументу, в разі якщо такий межа є, і за умови, що даний аргумент прагне до нульового значення.

Розглянутий нижче невеличкий приклад допоможе наочно зрозуміти, що таке похідна.

1. Для пошуку похідної функції f в точці х, нам потрібно визначити значення даної функції безпосередньо в точці х, а так же в точці х + Δх. Причому Δx - це збільшення аргументу х.
2. Знайти приріст для функції у прирівняна до f (х + Δх) - f (х).
3. Записати похідну за допомогою межі відносини f '\u003d lim (f (x + Δх) - f (x)) / Δх, обчислити при Δх → 0.

Зазвичай похідна позначається знаком апострофа - « '» безпосередньо над дифференцируемой функцією. Позначення у вигляді одного апострофа позначає першу похідну, у вигляді двох - другу. Похідну найвищого порядку прийнято ставити відповідною цифрою, наприклад f ^ (n) - що означає похідну n-го порядку, де буква «n» - ціле число, яке? 0. Похідна нульового порядку - це і є сама функція, що диференціюється.

З метою полегшення диференціювання ускладнених функцій, були розроблені і прийняті певні правила диференціювання функцій:

• З '\u003d 0, де С - позначення константи;
• х 'дорівнює 1;
• (F + g) 'прирівнюється f' + g ';
• (З * f) 'прирівняне C * f' і так далі.
• Для N-кратного диференціювання зручніше застосовувати формулу Лейбніца в вигляді: (f * g) (n) \u003d Σ C (н) k * f (н-k) * g до, в якій С (н) до - позначення біноміальних коефіцієнтів.

Похідна і геометрія

Геометричне осмислення похідною полягає в тому, що якщо для функції f є кінцева похідна в пункті х, то значення даної похідної дорівнюватиме тангенсу кута від нахилу в дотичній до функції f в даній точці.

При вирішенні різних завдань геометрії, механіки, фізики та інших галузей знання виникла необхідність за допомогою одного і того ж аналітичного процесу з даної функції y \u003d f (x) отримувати нову функцію, яку називають похідною функцією (або просто похідною) даної функції f (x) і позначають символом

Той процес, за допомогою якого з даної функції f (x) отримують нову функцію f "(x), називають дифференцированием і складається він з наступних трьох етапів: 1) даємо аргументу x приріст  x і визначаємо відповідне прирощення функції  y \u003d f (x + x) -f (x); 2) складаємо ставлення

3) вважаючи x постійним, а  x 0, знаходимо
, Який позначаємо через f "(x), Як би підкреслюючи тим самим, що отримана функція залежить лише від того значення x, При якому ми переходимо до межі. визначення: Похідною y "\u003d f" (x) даної функції y \u003d f (x) при даному x називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, якщо, звичайно, ця межа існує, тобто кінцевий. Таким чином,
, або

Зауважимо, що якщо при деякому значенні x, Наприклад при x \u003d a, ставлення
при  x0 не прагне до кінцевого межі, то в цьому випадку говорять, що функція f (x) при x \u003d a (Або в точці x \u003d a) Не має похідної або НЕ дифференцируема в точці x \u003d a.

2. Геометричний зміст похідної.

Розглянемо графік функції у \u003d f (х), що диференціюється в околицях точки x 0

f (x)

Розглянемо довільну пряму, що проходить через точку графіка функції - точку А (x 0, f (х 0)) і перетинає графік в деякій точці B (x; f (x)). Така пряма (АВ) називається січною. З ΔАВС: АС \u003d Δx; ВС \u003d Δу; tgβ \u003d Δy / Δx.

Так як АС || Ox, то ALO \u003d BAC \u003d β (як відповідні при паралельних). Але ALO - це кут нахилу січної АВ до позитивного напрямку осі Ох. Значить, tgβ \u003d k - кутовий коефіцієнт прямої АВ.

Тепер будемо зменшувати Δх, тобто Δх → 0. При цьому точка В буде наближатися до точки А за графіком, а січна АВ буде повертатися. Граничним становищем січної АВ при Δх → 0 буде пряма (a), звана дотичної до графіка функції у \u003d f (х) в точці А.

Якщо перейти до межі при Δх → 0 в рівності tgβ \u003d Δy / Δx, то отримаємо
іліtg \u003d f "(x 0), так як
-кут нахилу дотичній до позитивного напрямку осі Ох
, За визначенням похідної. Але tg \u003d k - кутовий коефіцієнт дотичної, значить, k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Отже, геометричний зміст похідної полягає в наступному:

Похідна функції в точці x 0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції, проведеної в точці з абсцисою x 0 .

3. Фізичний зміст похідної.

Розглянемо рух точки по прямій. Нехай задана координата точки в будь-який момент часу x (t). Відомо (з курсу фізики), що середня швидкість за проміжок часу дорівнює відношенню відстані, пройденого за цей проміжок часу, на час, тобто

Vср \u003d Δx / Δt. Перейдемо до межі в останній рівності при Δt → 0.

lim Vср (t) \u003d  (t 0) - миттєва швидкість в момент часу t 0, Δt → 0.

а lim \u003d Δx / Δt \u003d x "(t 0) (за визначенням похідної).

Отже,  (t) \u003d x "(t).

Фізичний зміст похідної полягає в наступному: похідна функціїy = f(x) В точціx 0 - це швидкість зміни функціїf (Х) в точціx 0

Похідна застосовується у фізиці для знаходження швидкості по відомій функції координати від часу, прискорення за відомою функції швидкості від часу.

 (t) \u003d x "(t) - швидкість,

a (f) \u003d  "(t) - прискорення, або

Якщо відомий закон руху матеріальної точки по колу, то можна знайти кутову швидкість і кутове прискорення при обертальному русі:

φ \u003d φ (t) - зміна кута від часу,

ω \u003d φ "(t) - кутова швидкість,

ε \u003d φ "(t) - кутове прискорення, або ε \u003d φ" (t).

Якщо відомий закон розподілу маси неоднорідного стрижня, то можна знайти лінійну щільність неоднорідного стрижня:

m \u003d m (х) - маса,

x , l - довжина стрижня,

р \u003d m "(х) - лінійна щільність.

За допомогою похідної вирішуються завдання з теорії пружності і гармонійних коливань. Так, згідно із законом Гука

F \u003d -kx, x - змінна координата, k- коефіцієнт пружності пружини. Поклавши ω 2 \u003d k / m, отримаємо диференціальне рівняння пружинного маятника х "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

де ω \u003d √k / √m частота коливань (l / c), k - жорсткість пружини (H / m).

Рівняння виду у "+ ω 2 y \u003d 0 називається рівнянням гармонійних коливань (механічних, електричних, електромагнітних). Рішенням таких рівнянь є функція

у \u003d Asin (ωt + φ 0) або у \u003d Acos (ωt + φ 0), де

А - амплітуда коливань, ω - циклічна частота,

φ 0 - початкова фаза.

Запам'ятати дуже легко.

Ну і не будемо далеко ходити, відразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показовою функції? логарифм:

У нашому випадку підставою служить число:

Такий логарифм (тобто логарифм з основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливу позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифма теж дуже проста:

приклади:

1. Знайди похідну функції.
2. Чому дорівнює похідна функції?

відповіді: експонента і натуральний логарифм - функції унікально прості з точки зору похідною. Показові і логарифмічні функції з будь-яким іншим підставою матимуть іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того як пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?! ...

диференціювання - це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Чи не проізводнованіе ж ... Диференціалом математики називають те саме приріст функції при. Відбувається цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил будемо використовувати дві функції, наприклад, і. Нам знадобляться також формули їх збільшень:

Всього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо - якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці:.

Доведемо. Нехай, або простіше.

Приклади.

Знайдіть похідні функцій:

1. в точці;
2. в точці;
3. в точці;
4. в точці.

рішення:

1. (Похідна однакова у всіх точках, так як це лінійна функція, пам'ятаєш?);

похідна твори

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її приріст:

похідна:

приклади:

1. Знайдіть похідні функцій і;
2. Знайдіть похідну функції в точці.

рішення:

Похідна показовою функції

Тепер твоїх знань досить, щоб навчитися знаходити похідну будь-показовою функції, а не тільки експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де - це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функції, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нового основи:

Для цього скористаємося простим правилом:. тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція - складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився тільки множник, який є просто числом, але не змінною.

приклади:
Знайди похідні функцій:

відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, то існує не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його в такому вигляді і залишаємо.

Зауважимо, що тут частка двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:

У цьому прикладі твір двох функцій:

Похідна логарифмічної функції

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифма:

Тому, щоб знайти довільну від логарифма з іншою підставою, наприклад,:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як поміняти підставу логарифма? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число, без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показовою і логарифмічноїфункцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складної функції.

Що таке " складна функція»? Ні, це не логарифм, і не арктангенс. Дані функції може бути складні для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять двоє людей і проробляють якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складений об'єкт: шоколадка, загорнута і обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно виконати зворотні дії в зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спершу будемо знаходити косинус числа, а потім отримане число зводити в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що у мене вийшло, в квадрат (обв'язують стрічкою). Що вийшло? Функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми проробляємо перша дія безпосередньо зі змінною, а потім ще друга дія з тим, що вийшло в результаті першого.

Іншими словами, складна функція - це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для нашого прикладу,.

Ми цілком можемо проробляти ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш в квадрат, а я потім шукаю косинус отриманого числа:. Нескладно здогадатися, що результат буде майже завжди різний. Важлива особливість складних функцій: при зміні порядку дій функція змінюється.

Другий приклад: (те ж саме). .

Дія, яке робимо останнім будемо називати «Зовнішньої» функцією, А дія, що здійснюється першим - відповідно «Внутрішньої» функцією (Це неформальні назви, я їх вживаю тільки для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньої:

відповіді:Поділ внутрішньої і зовнішньої функцій дуже схоже на заміну змінних: наприклад, в функції

1. Першим будемо виконувати яку дію? Спершу порахуємо синус, а тільки потім зведемо в куб. Значить, внутрішня функція, а зовнішня.
   А початкова функція є їх композицією:.
2. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.
3. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.
4. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.
5. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.

виробляємо заміну змінних і отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер будемо отримувати нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного наприклад це виглядає так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

рішення:

1) Внутрішня:;

Зовнішня:;

2) Внутрішня:;

(Тільки не думай тепер скоротити на! З під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня:;

Зовнішня:;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї ще витягаємо корінь, тобто виконуємо третя дія (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися нема причин: все-одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і завжди: з кінця.

Тобто спершу продифференцируем корінь, потім косинус, і тільки потім вираз в дужках. А потім все це перемножимо.

У таких випадках зручно пронумерувати дії. Тобто, уявімо, що нам відомий. У якому порядку будемо здійснювати дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо на прикладі:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давай визначимо порядок дій.

1. подкоренного вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все в купу:

ПОХІДНА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції - відношення приросту функції до приросту аргументу при нескінченно малому збільшенні аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна суми:

Похідна твори:

Похідна приватного:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо «внутрішню» функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо «зовнішню» функцію, знаходимо її похідну.
3. Множимо результати першого і другого пунктів.