Présentation des formules trigonométriques de base et des substitutions de base. Les méthodes d'intégration de fonctions trigonométriques sont présentées - intégration de fonctions rationnelles, ajout de fonctions statiques de la forme sin x et cos x, ajout d'un terme riche, exposant de sinus et cosinus, intégration de fonctions trigonométriques de retour y. Des méthodes non standards sont entrées en jeu.

Brume Z

Méthodes standard d'intégration de fonctions trigonométriques

Approche Zagalny

Premièrement, si nécessaire, l'expression intégrale doit être réorganisée de manière à ce que les fonctions trigonométriques se trouvent dans un seul argument, ce qui peut être évité sans intégration de variables.

Par exemple, si le virus intégral réside dans péché(x+a)і cos(x+b), trace de la recréation visconati :
cos(x+b) = cos(x+a - (ab)) = cos (x+a) cos (b-a) + péché ( x+a ) péché (b-a).
Effectuez ensuite le remplacement z = x + a. De ce fait, les fonctions trigonométriques ne sont plus soumises à l'intégration variable z.

Si les fonctions trigonométriques se trouvent dans un argument, ce qui est évité par l'intégration de variables (autorisée avec z), alors l'expression intégrale est composée uniquement d'une fonction du type péché z, parce que z, tg z, ctg z, alors vous devez créer une substitution
.
Cette substitution conduit à l'intégration de fonctions rationnelles et irrationnelles (qui est la fonction racine) et permet de calculer l'intégrale, qui peut être intégrée aux fonctions élémentaires.

Cependant, vous pouvez souvent trouver d'autres méthodes qui vous permettent de calculer l'intégrale de manière plus courte, en fonction des spécificités de l'expression intégrale. Vous trouverez ci-dessous un résumé des principales méthodes de ce type.

Méthodes d'intégration des fonctions rationnelles de sin x et cos x

Fonctions rationnelles de péché xі parce que x- cette fonction créée avec péché x, parce que x Et il y en a des constantes derrière l'opération supplémentaire consistant à ajouter, supprimer, multiplier et ainsi l'amener à un niveau complet. Les puants sont désignés comme suit : R (péché x, cos x). Cela peut inclure des tangentes et des cotangentes, des fragments créés par la division du sinus en cosinus, etc.
Les intégrales des fonctions rationnelles ressemblent à :
.

Les méthodes d'intégration de fonctions trigonométriques rationnelles sont les suivantes.
1) La substitution est d'abord portée à l'intégrale fraction rationnelle. Cependant, dans certaines situations, il existe des substitutions (celles-ci sont présentées ci-dessous) qui conduisent à des calculs plus courts.
2) Yakscho R. (péché x, cos x) cosx → - cosx péché x.
3) Yakscho R. (péché x, cos x) multiplier par -1 lors du remplacement péché x → - péché x, alors la substitution t = parce que x.
4) Yakscho R. (péché x, cos x) ne change pas comme dans un remplacement d'une heure cosx → - cosx, і péché x → - péché x, alors la substitution t = tgx ou t = ctg x.

Appliquer:
, , .

Ajout de fonctions statiques en cos x et sin x

Intégrales de l'esprit

є intégrales de fonctions trigonométriques rationnelles. Par conséquent, les méthodes peuvent être utilisées dans la section précédente. Les méthodes basées sur les spécificités de ces intégrales sont discutées ci-dessous.

Puisque m et n sont des nombres rationnels, alors l'une des substitutions t = péché x ou t = parce que x l'intégrale se réduit à l'intégrale du binôme différentiel.

Puisque m et n sont des nombres entiers, l'intégration peut être effectuée à l'aide de formules de réduction supplémentaires :

;
;
;
.

Bout:
.

Intégrales pour la création de nombreux termes de sinus et cosinus

Intégrales de la forme :
, ,
où P(x) est un polynôme en x, intégrable par parties. Cela conduit aux formules suivantes :

;
.

Appliquer:
, .

Intégrales issues de la création du terme riche, l'exponentielle du sinus et du cosinus

Intégrales de la forme :
, ,
où P(x) est un terme riche dans x, peut être intégré à l'aide de la formule d'Euler supplémentaire
e iax = hache cos + hache isin(de je 2 = - 1 ).
A cet effet, par la méthode présentée au premier point, on calcule l'intégrale
.
Après avoir vu la partie active et évidente du résultat, nous pouvons en déduire les intégrales de sortie.

Bout:
.

Méthodes non standard d'intégration de fonctions trigonométriques

Vous trouverez ci-dessous un certain nombre de méthodes non standard qui vous permettent de visconiser et de simplifier l'intégration de fonctions trigonométriques.

Longueur de vue (a sin x + b cos x)

Si le virus intégratif est stocké uniquement dans un péché x + b cos x, alors c'est bien de mettre en place la formule :
,
de.

Par exemple

Décomposition d'une fraction de sinus et cosinus en fractions simples

Jetons un coup d'œil à l'intégrale
.
La méthode d'intégration la plus simple réside dans la fraction dépliée de manière simple et stagnante :
péché(a - b) = péché(x + a - (x + b)) = péché(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) péché(x+b)

Intégration du premier plan

Lors du calcul de l'intégrale
,
il est facile de voir toute la partie du tir et la marche de la bannière
un 1 péché x + b 1 cos x = UN (un péché x + b cos x) + B (un péché x + b cos x)′ .
Les continus A et B sont dus à l’alignement des parties gauche et droite.

Littérature du Wikorystan :
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Collection de livres de grandes mathématiques, "Lan", 2003.

Div. aussi:

Intégrales comme fonctions trigonométriques.
Appliquez votre décision

Dans cette leçon, nous avons examiné les intégrales des fonctions trigonométriques, de sorte que le remplissage des intégrales soit constitué de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes pour diverses combinaisons. Tous les mégots seront présentés de manière détaillée, disponible et compréhensible pour la théière.

Pour réussir à intégrer des intégrales dans des fonctions trigonométriques, vous devez avoir une bonne compréhension des intégrales les plus simples, ainsi que d'autres méthodes d'intégration. Vous pouvez vous familiariser avec ces documents lors de conférences Intégrale de non-valeur. Appliquez votre décision ta.

Et maintenant nous avons besoin de : Tableau des intégrales, Tableau des départsі Conseiller en formules trigonométriques. Moustache compagnons méthodiques peut être trouvé sur la page Formules et tableaux mathématiques. Je recommande de tout resserrer. Je me concentrerai particulièrement sur les formules trigonométriques, ça pue le labeur buti devant ochima– sans quoi l’efficacité du robot changera considérablement.

Tout d'abord, à propos de ces intégrales dans cet article ni l'un ni l'autre. Il n'y a pas d'intégrales à trouver ici, - cosinus, sinus, multiplié par tout autre terme (parfois avec une tangente ou une cotangente). De telles intégrales sont intégrées par parties, et pour apprendre la méthode, suivez une leçon sur l'intégration par parties. Appliquez la solution. De plus, ici il n'y a pas d'intégrales avec des « arcs » - arctangente, arc sinus, etc., elles sont aussi le plus souvent intégrées par parties.

Lors de la recherche d'intégrales à partir de fonctions trigonométriques, un certain nombre de méthodes sont utilisées :

(4) Vikoristuyemo formule de table , uniformité, au lieu de « X » nous avons une expression pliable.

Fesses 2

Fesses 3

Savoir intégrale de non-valeur.

Un classique du genre pour ceux qui ont envie. Comme vous l'avez peut-être remarqué, le tableau des intégrales n'a pas d'intégrale pour la tangente et la cotangente, et vous pouvez vous renseigner sur ces intégrales.

(1) Formule trigonométrique Vikorist

(2) Nous faisons correspondre la fonction sous le signe différentiel.

(3) Intégrale de table Vikorist .

Fesses 4

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Il s'agit d'un sujet de décision indépendante, en dehors de la décision et des preuves - comme une leçon.

Fesses 5

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Nos marches montent doucement =).
Tout d'abord:

(1) Formule de Vikorist

(2) Identité fondamentalement trigonométrique de Vikorist , pourquoi ça vibre ? .

(3) Divisez le nombre terme par terme.

(4) La linéarité de l'intégrale non valorisée est déterminée par Vikorist.

(5) Intégré à l'aide d'une table supplémentaire.

Fesses 6

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Il s'agit d'un sujet de décision indépendante, en dehors de la décision et des preuves - comme une leçon.

Il existe également des intégrales de tangentes et de cotangentes, que l'on trouve à des niveaux supérieurs. Intégrale de la tangente au cube revue en leçon Comment calculer l'aire d'une figure plate ? Les intégrales à la tangente (cotangente) dans les quatrième et cinquième étapes peuvent être obtenues sur la page Intégrales pliantes.

Étape inférieure de la fonction intégrale

Cette technique fonctionne lorsque les fonctions intégrales sont remplies de sinus et de cosinus dans les gars pas. , Pour le niveau inférieur, utilisez des formules trigonométriques .

Et, de plus, la formule restante est souvent utilisée dans le sens inverse :

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Fesses 7

Décision: En principe, il n'y a rien de nouveau ici, si ce n'est que nous avons écrit la formule (changer le stade de la fonction sous-intégrale). Je suis reconnaissant d’avoir pris une décision rapide. Dans le monde, l'intégrale accumulée peut être trouvée facilement, ce qui permet de gagner une heure et est tout à fait acceptable une fois la tâche terminée. Dans ce cas, n'écrivez pas complètement la règle

On prend d’abord l’intégrale de 1, puis de .

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Il s'agit d'un sujet de décision indépendante, en dehors de la décision et des preuves - comme une leçon.

Fesses 8

Voici les étapes avancées :

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Fesses 9

D’abord la décision, puis les commentaires : .

(1) On peut préparer la fonction intégrale pour formuler la formule

(2) Formule de Vlasne Zastosov.

(3) On prend le signe du carré et on met la constante sous le signe de l'intégrale. Il aurait été possible de gagner un peu différemment, mais ce serait plus facile pour moi.

(4) Formule de Vikorist .

(5) Pour le troisième ajout, nous réduisons à nouveau le pas, puis utilisons la formule supplémentaire (6) Des ajouts similaires sont en cours (ici je les ai divisés morceau par morceau

ta vikonav dodavannya). (7) On prend l'intégrale, la règle de linéarité

Cette méthode d'introduction de la fonction sous le signe différentiel est clairement définie.

(8) La preuve est claire.

! Pour une intégrale non définie, il est souvent possible d'écrire la version décalée des manières suivantes :

Dans la crosse, la réponse résiduelle pourrait s'écrire différemment - ouvrir les bras et commencer à travailler avant d'intégrer le virus, pour que le bout de la crosse soit tout à fait acceptable :

Il est tout à fait possible que cette option soit meilleure, je vais juste l'expliquer de la même manière que le son lui-même). L'essieu est une autre crosse caractéristique du vyrishenya indépendant :

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Fesses 10 Ce derrière peut être corrigé de deux manières, et vous pouvez vous en sortir deux types complètement différents

(plus précisément, apparemment, les puants semblent absolument différents, et d'un point de vue mathématique, ils sont équivalents). Quoi qu'il en soit, vous n'apprendrez pas la méthode la plus rationnelle et souffrirez de l'ouverture des bras, des distorsions des autres formules trigonométriques. La solution la plus efficace est basée sur la leçon. Soumettez le paragraphe, faites un résumé : soyez-n'importe quel type d'intégrale à l'esprit , Où je - les gars
nombres, il apparaît que le niveau de la fonction intégrale est plus faible.

En fait, les intégrales de 8 et 10 étapes ont été réduites et leur terrible hémorragie a été résolue en abaissant le niveau plusieurs fois, et les résultats ont donné des résultats à long terme.

Méthode de remplacement Comme les statistiques l'ont déjà deviné La principale raison du choix de la méthode de substitution est que l'intégrande a une fonction similaire :
(fonctions qui n'existent pas forcément dans la création)

Fesses 11

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Affiché dans le tableau des formules associées et marquées, , alors notre expression intégrale a une fonction similaire. Cependant, il est important qu'avec la différenciation, le cosinus et le sinus se transforment mutuellement un à un, et le problème se pose : comment remplacer la variable et qu'entend-on par - sinus et cosinus ?! La nutrition peut être déterminée à l'aide de la méthode scientifique : si nous effectuons les mauvais changements, il n'en sortira rien de bon.

Dernier repère : dans des situations similaires, il faut déterminer la fonction d'être dans le signe.

La solution est en cours d'examen et le remplacement est en cours

Tout va bien avec notre Bannerman, tout est là depuis longtemps, maintenant nous ne savons plus quoi faire.
Pour lequel on connaît le différentiel :

Ou en bref :
En nous basant sur la règle de proportion, nous avons besoin de l’expression suivante :

Autre :

Désormais, toutes les expressions intégrales sont laissées entre nos mains et nous pouvons continuer à prendre des décisions.

Prêt. Laissez-moi vous rappeler quoi remplacer - pardonnez le virus intégral, dans lequel tout a conduit à l'intégration fonctions de puissance derrière la table.

Je n'ai pas peint cette crosse si méticuleusement, mais cela a été fait avec la méthode de répétition et de consolidation du matériel pour la leçon Comme les statistiques l'ont déjà deviné.

Et maintenant deux mégots pour une performance indépendante :

Fesses 12

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Fesses 13

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Plus de solutions et de similitudes avec la leçon.

Fesses 14

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Là encore, dans l'expression intégrale, il y a un sinus et un cosinus (une fonction avec une fonction accessoire), mais aussi dans la création, et un dilemme se pose : qu'entend-on par sinus et cosinus ?

Vous pouvez essayer de réaliser un remplacement par la méthode scientifique, et si rien ne se passe, alors l'attribuer à une autre fonction, autrement dit :

Repère caché : il faut reconnaître la fonction qui, au sens figuré, semble être dans une « position non manuelle ».

Il est important que dans cette application, le cosinus de l’élève « souffre » au pas, et que le sinus soit ainsi, tout seul.

Faisons donc un remplacement :

Si quelqu'un a des difficultés avec l'algorithme permettant de remplacer la variable et de trouver la différentielle, veuillez revenir à la leçon Comme les statistiques l'ont déjà deviné.

Fesses 15

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Analysons la fonction intégrale, que faut-il désigner comme ?
Devinons nos repères :
1) La fonction qui est responsable de tout est connue du bannièreur ;
2) La fonction est en « position non manuelle ».

Avant de parler, ces directives sont les mêmes que pour les fonctions trigonométriques.

Si les deux critères (en particulier les autres critères) sont remplis par sinus, un remplacement est nécessaire. En principe, le remplacement peut déjà être effectué, mais ce serait mauvais pour un début, mais qu'en faire ? Tout d'abord, nous « sélectionnons » un cosinus :

Nous nous réservons pour notre différentiel « peut-être »

Et il passe par le sinus en utilisant le principal identité trigonométrique:

L'essieu est maintenant en cours de remplacement :

Règle Zagalne: Dans la fonction intégrale une des fonctions trigonométriques (sinus ou cosinus) est en non appariéétape, vous devez alors « échantillonner » une fonction d'une étape non appariée, puis attribuer une autre fonction. Parlons des intégrales, des cosinus et des sinus.

Dans le cas que nous avons examiné avec un monde non apparié, nous avons trouvé un cosinus, nous avons donc supprimé un cosinus du pas et avons désigné le sinus.

Fesses 16

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

Les étapes vont à zlit =).
Ceci est un exemple de décision indépendante. Surtout, il y a une solution et une conclusion à la leçon.

Substitution trigonométrique universelle

La substitution trigonométrique universelle est la variante la plus courante de la méthode de substitution. Vous pouvez essayer la stagnation si vous ne savez pas quoi faire. Mais en fait, il existe quelques lignes directrices pour sa mise en œuvre. Les intégrales typiques qui nécessitent la substitution trigonométrique universelle sont les intégrales suivantes : , , , etc.

Fesses 17

Trouvez l'intégrale de non-valeur.

La substitution trigonométrique universelle est souvent mise en œuvre de cette manière. Remplaçons : . Je ne vikorise pas une lettre, mais une lettre, ce qui n'est pas censé être une règle, je sais juste que c'est le son de virishuvati.

Ici, le différentiel est plus important, c'est pourquoi je dirai :
L'arctangente la plus importante sur la partie fautive :

L'arctangente et la tangente diminuent mutuellement :

Dans cet ordre:

En pratique, vous n'avez pas besoin de le peindre avec autant de détails, mais simplement d'esquisser le résultat obtenu :

! L’expression n’est que juste car sous sinus et cosinus nous avons simplement « ix » pour l’intégrale (on en reparlera plus tard) tout sera un peu différent !

Lors du remplacement du sinus et du cosinus, nous transformons les fractions suivantes :
, , qui sont basés sur des formules trigonométriques familières : ,

Ainsi, la conception finale peut ressembler à ceci :

Réalisons la substitution trigonométrique universelle :

Il y aura des instructions pour un développement indépendant, jusqu'à ce que l'espèce puisse être examinée.

L'expression intégrale peut être convertie de la création de fonctions trigonométriques en somme

Jetons un coup d'œil aux intégrales dans lesquelles la fonction intégrale est constituée des sinus et cosinus de la première étape comme x, multipliés par différents facteurs, afin que nous puissions intégrer la forme

Ayant rapidement appris les formules trigonométriques

(2)
(3)
(4)
il est possible de transformer la peau des créations en intégrales de la forme (31) en une somme algébrique et d'intégrer derrière les formules

(5)

(6)

fesses 1. Savoir

Décision.

Suivant la formule (2) à Savoir fesses 2.

intégrale d'une fonction trigonométrique

Décision. Savoir fesses 2.

Suivant la formule (3) à Fesses 3.

Décision.

Suivant la formule (4) à

Le début de la transformation du virus intégral est attendu :

(7)

Formule Zastosovuyu (6), éliminée Intégrale des pas du sinus et du cosinus du même argument Regardons maintenant l'intégrale de la fonction pour créer deux étapes du sinus et du cosinus du même argument. Dans une série d'épisodes, l'un des exposants ( m

ou sinon n) peut être ajouté à zéro. n ) .

Lors de l'intégration de telles fonctions, il devient clair que le degré commun de cosinus peut être exprimé par le sinus et que le différentiel du sinus est égal à cos. Intégrale des pas du sinus et du cosinus du même argumentі Dans une série d'épisodes, l'un des exposants ( x dx

(ou le stade égal du sinus peut être exprimé par le cosinus, et la différentielle du cosinus est la même - péché Dans une série d'épisodes, l'un des exposants ( = 2Les éléments suivants sont divisés en deux types : 1) Je souhaite l'un des indicateurs non apparié ; 2) les gars d’affichage offensif.

Ne laissez pas le premier épisode se produire, mais la série elle-même k+ 1 – non apparié. Todi, docteurs, quoi L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement t k= péché Intégrale des pas du sinus et du cosinus du même argument X L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement La décision est de réduire l’intégration des membres riches du corps L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement. Pourquoi n'as-tu plus d'étapes ? k non apparié, puis corrigez-le de la même manière, en voyant le multiplicateur sin L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement, déterminant la solution de la fonction intégrale par cos et respectueusement =cos . Cette technique peut être utilisée dans Intégration des étapes privées du sinus et du cosinus , si Je souhaite qu'un des exposants soit non jumelé

. Toute la louange revient à celui qui Intégrale des pas du sinus et du cosinus du même argumentі Dans une série d'épisodes, l'un des exposants ( plus que les étapes du sinus et du cosinus - c'est la troisième étape de leur création

: si la fonction trigonométrique est proche du signe de l'équation intégrale, son étage est négatif. Il existe également des types de fonctions trigonométriques privées, si leur niveau est inférieur à la normale. À leur sujet - le paragraphe suivant. Dans quelle mesure les affichages sont-ils offensants ? - les gars, alors, formules vikoristes et trigonométriques

réduisez les indicateurs des étapes sinus et cosinus, après quoi vous obtenez une intégrale du même type qui est plus élevée. L’intégration de la trace suit donc le même circuit. Savoir fesses 2.

Si l'un des deux indicateurs est négatif et est donc considéré comme plus important que les autres étapes du sinus et du cosinus, alors ce schéma ne convient pas.

k+ 1 – non apparié. Todi, docteurs, quoi L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement. Ensuite, il faut remplacer la variable en stockage afin de transformer le virus intégral. Une telle attaque sera examinée dans le paragraphe suivant. Fesses 4. non apparié, puis corrigez-le de la même manière, en voyant le multiplicateur sin L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement Décision. ). Todi est amovible

Revenant à l'ancien changement, nous savons toujours

Fesses 5. Savoir fesses 2.

.

Décision.

L'indicateur du niveau de cosinus, comme dans le premier bout, est impair, voire plus. Uyavimo k+ 1 – non apparié. Todi, docteurs, quoi L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement. Ensuite, il faut remplacer la variable en stockage afin de transformer le virus intégral. Une telle attaque sera examinée dans le paragraphe suivant. Fesses 4. non apparié, puis corrigez-le de la même manière, en voyant le multiplicateur sin L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement Décision. ). Todi est amovible

et nous commencerons à remplacer le remplacement

Ouvrir les temples

et peut être retiré

Pour en revenir à l'ancien changement, la décision a disparu Savoir fesses 2.

Fesses 6.

Décision.

Indicateurs des niveaux sinus et cosinus - les gars. On peut donc transformer la fonction intégrale comme ceci : k Ceci doit être enlevé L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement Pour une autre intégrale, nous la remplacerons par une autre, respectueusement (1/2)Fesses 4.= péché2 L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement Décision. . Todi

= cos2

. Otzhe,

En fait, les intégrales de 8 et 10 étapes ont été réduites et leur terrible hémorragie a été résolue en abaissant le niveau plusieurs fois, et les résultats ont donné des résultats à long terme. Le reste peut être supprimé L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement = k Méthode Vykoristannya de remplacement par changement L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement = k avec des fonctions trigonométriques intégrées, il est possible de figer dans les phases, si dans l'expression intégrale il n'y a qu'un sinus ou seulement un cosinus, ou un sinus et un cosinus, soit un sinus, soit un cosinus - dans la première étape, tangente ou cotangente, ainsi que les étapes privées du sinus et du cosinus d'un seul et même argument. Dans ce cas, il est possible d'effectuer des réarrangements non seulement L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement = k est dans L'expression sous-intégrale se présente sous la forme que sa partie est fonction du sinus, mais plutôt du différentiel du sinus. Maintenant, pour obtenir de l'aide pour remplacer le changement = k .

, mais je tg Savoir fesses 2.

.

ta ctg

.

Fesses 8. Savoir fesses 2.

Décision.

Nous recherchons un remplaçant : , Todi. Le virus intégral, qui est supérieur, s'intègre facilement derrière le tableau des intégrales : Fesses 9. Décision.

.

La tangente du nouveau sinus et cosinus est soluble :

.

Il est tout à fait possible que cette option soit meilleure, je vais juste l'expliquer de la même manière que le son lui-même). L'essieu est une autre crosse caractéristique du vyrishenya indépendant : Savoir fesses 2.

Nous recherchons un remplaçant : , Todi. L'expression intégrale, qui est ce qu'elle est, est

intégrale de table :

il y a un signe moins : Fesses 4. Passant à l'épi, le reste est retiré :

La tangente du nouveau sinus et cosinus est soluble :

.

Décision.

Substitution trigonométrique universelle

Nous sommes en train de remplacer le remplaçant : , Todi. Soluble l'expression intégrale pour établir l'identité trigonométrique

Il est possible de remplacer la variable, n'oubliez pas de mettre un signe moins devant l'intégrale (vous serez surpris qu'on

Fesses 12 Savoir fesses 2.

.

). Ensuite, nous décomposons l'expression intégrale en multiplicateurs et l'intégrons à l'aide du tableau : substitution trigonométrique universelle Pour une autre intégrale, nous la remplacerons par une autre, respectueusement
.

Les fractions du livre de chiffres et du livre de signes sont multipliées par , et les deux sont ajoutés et placés devant le signe intégral. Todi

En fait, il est souvent nécessaire de calculer des intégrales de fonctions transcendantales en remplacement des fonctions trigonométriques. Dans le cadre de ce matériel, nous décrirons les principaux types de fonctions intégrales et montrerons quelles méthodes peuvent être utilisées pour leur intégration.

Intégration du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente

Découvrons les méthodes d'intégration des fonctions trigonométriques de base - sin, cos, tg, ctg. En utilisant le tableau des valeurs primaires de Vikorist, on peut immédiatement écrire que ∫ sin x d x = - cos x + C , et ∫ cos x d x = sin x + C .

Pour calculer les intégrales non valorisables des fonctions t g et c t g, vous pouvez accélérer les signes du différentiel :

∫ tgxdx = ∫ sin x cos xdx = d (cos x) = - sin xdx = = - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C ∫ ctgxdx = ∫ cos x sin xdx = d (sin x) = cos xdx = = ∫ d (sin x) sin x = ln sin x + C

Comment avons-nous dérivé les formules ∫ d x sin x = ln 1 - cos x sin x + C і ∫ d x cos x = ln 1 + sin x cos x + C, tirées du tableau des premières ? Expliquons seulement un éclat, mais l'autre sera raisonnable pour l'analogie.

En utilisant la méthode de substitution Vikorist, on écrit :

∫ d x péché x = péché x = t ⇒ x = a r péché y ⇒ d x = d t 1 - t 2 = d t t 1 - t 2

Ici, nous devons intégrer la fonction irrationnelle. Reprenons la même méthode de substitution :

∫ dtt 1 - t 2 = 1 - t 2 = z 2 ⇒ t = 1 - z 2 ⇒ dt = - zdz 1 - z 2 = = ∫ - zdzz 1 - z 2 1 - z 2 = ∫ dzz 2 - 1 = ∫ dz (z - 1) (z +) = = 1 2 ∫ dzz - 1 - 1 2 ∫ dzz + 1 = 1 2 ln z - 1 - 1 2 z + 1 + C = = 1 2 ln z - 1 z + 1 + C = ln z - 1 z + 1 + C

Faisons maintenant la substitution inverse z = 1 - t 2 i t = sin x :

∫ dx sin x = ∫ dtt 1 - t 2 = ln z - 1 z + 1 + C = = ln 1 - t 2 - 1 1 - t 2 + 1 + C = ln 1 - sin 2 x - 1 1 - sin 2 x + 1 + C = = ln cos x - 1 cos x + 1 + C = ln (cos x - 1) 2 sin 2 x + C = = ln cos x - 1 sin x + C

Examinons de plus près les différences avec les intégrales, qui sont les étapes des fonctions trigonométriques, telles que ∫ sin n x d x , ∫ cos n x d x , ∫ d x sin n x , ∫ d x cos n x .

Vous pouvez découvrir comment les calculer correctement dans l'article sur l'intégration avec les formules récurrentes. Si vous savez comment dériver cette formule, vous pouvez facilement intégrer la formule ∫ sin n x · cos m x d x avec m i n naturel.

Parce que nous avons une combinaison de fonctions trigonométriques avec des termes riches ou fonctions d'affichage, ils devront alors être intégrés en plusieurs parties. Veuillez lire l'article dédié aux méthodes de recherche des intégrales ∫ P n (x) · sin (ax) dx , ∫ P n (x) · cos (ax) dx , ea · x · sin (ax) dx , ea · x · cos ( hache)dx.

Les tâches les plus complexes sont celles dans lesquelles la fonction intégrale comprend des fonctions trigonométriques avec des arguments différents. Pour ceux qui ont besoin de connaître les formules de base de la trigonométrie, il est important de les mémoriser ou de garder une trace des notes sous la main.

Fesses 1

Trouver l'identité des fonctions primaires y = sin (4 x) + 2 cos 2 (2 x) sin x · cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 · sin (3 x) .

Décision

En utilisant les formules de l'étape inférieure, nous écrivons que cos 2 x 2 = 1 + cos x 2 et cos 2 2 x = 1 + cos 4 x 2. Vouloir dire,

y = péché (4 x) + 2 cos 2 (2 x) péché x cos (3 x) + 2 cos 2 x 2 - 1 péché (3 x) = péché (4 x) + 2 1 + cos 4 x 2 péché x cos (3 x) + 2 1 + cos x 2 - 1 péché (3 x) = = péché (4 x) + cos (4 x) + 1 péché x cos (3 x) + cos x péché (3 x)

Le znamennik a la formule sumi sine. Todi peut s'écrire ainsi :

y = péché (4 x) + cos (4 x) + 1 péché x cos (3 x) + cos x péché (3 x) = péché (4 x) + cos (4 x) + 1 péché (4 x ) = = 1 + cos (4 x) péché (4 x)

Nous avons une somme de trois intégrales.

∫ péché (4 x) + cos (4 x) + 1 péché x · cos (3 x) + cos x · péché (3 x) dx = = ∫ dx + cos (4 x) dx péché (4 x) + ∫ dx sin (4 x) = = x + 1 4 ln ∫ d (sin (4 x)) sin (4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) = = 1 4 ln sin ( 4 x) + 1 4 ln cos (4 x) - 1 sin (4 x) + C = x + 1 4 ln cos 4 x - 1 + C

Dans certains cas, les fonctions trigonométriques situées sous l'intégrale peuvent être réduites à des expressions plus rationnelles en utilisant la méthode simple de substitution standard. Pour commencer, prenons des formules qui expriment sin, cos et t g par la tangente de la moitié de l’argument :

péché x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 , péché x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 , t g x = 2 t g x 2 1 - t g 2 x 2

Il faudra également calculer le différentiel d x par la tangente de la demi-coupe :

Fragments d t g x 2 = t g x 2 "d x = d x 2 cos 2 x 2 alors

d x = 2 cos 2 x 2 d t g x 2 = 2 d t g x 2 1 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 cos 2 x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 1 + t g 2 x 2

Ainsi, sin x = 2 z 1 + z 2, cos x 1 - z 2 1 + z 2, t g x 2 z 1 - z 2, d x = 2 d z 1 + z 2 à z = t g x 2.

Fesses 2

Trouver l'intégrale de non-valeur ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 .

Décision

Méthode Vikorist de substitution trigonométrique standard.

2 sin x + cos x + 2 = 2 2 z 1 + z 2 + 1 - z 2 1 + z 2 = z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 ⇒ dx 2 sin x + cos x + 2 = 2 dz 1 + z 2 z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 = 2 dzz 2 + 4 z + 3

On en déduit que ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3 .

Nous pouvons maintenant décomposer la fonction intégrale en fractions les plus simples et soustraire la somme des deux intégrales :

∫ dx 2 sin x + cos x + 2 = 2 ∫ 2 dzz 2 + 4 z + 3 = 2 ∫ 1 2 1 z + 1 - 1 z + 3 dz = = ∫ dzz + 1 - ∫ C z + 3 = ln z + 1 - ln z + 3 + C = ln z + 1 z + 3 + C

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln z + 1 z + 3 + C = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

Version : ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

Il est important de noter que ces formules qui expriment des fonctions par la tangente de la moitié de l'argument ne sont pas identiques, puisque l'expression ln tgx 2 + 1 tgx 2 + 3 + C n'est pas la même que les fonctions primaires y = 1 2 sin x + cos x + 2 t ilki zones désignées.

Pour d'autres types de tâches, vous pouvez utiliser les méthodes d'intégration de base.

Si vous avez marqué une faveur dans le texte, veuillez la consulter et appuyer sur Ctrl+Entrée

Pour intégrer des fonctions rationnelles de la forme R(sin x, cos x), utilisez une substitution appelée substitution trigonométrique universelle. Todi. La substitution trigonométrique universelle conduit souvent à de grands calculs. Par conséquent, dans la mesure du possible, on peut recourir à de telles substitutions.

Intégration de fonctions qui se trouvent rationnellement dans des fonctions trigonométriques

1. Intégrales de la forme ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) Si n n'est pas apparié, alors une étape sinx (ou cosx) doit être entrée sous le signe différentiel, et à partir de l'étape appariée, l'étape suivante doit être déplacée vers la fonction opposée.
b) Si vous êtes un homme, alors vous pouvez utiliser les formules du niveau inférieur
2. Intégrales de la forme ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , où n est le tout.
Il faut corriger les formules

3. Intégrales de la forme ∫ sin n x cos m x dx
a) Lâchez m et n paires différentes. Nous supposons la substitution t = sin x, si n n'est pas apparié ou t = cos x, si m n'est pas apparié.
b) Si m et n sont des gars, alors les formules du niveau inférieur sont utilisées
2sin 2 x=1-cos2x, 2cos 2 x=1+cos2x.
4. Intégrales de la forme
Puisque les nombres m et n sont de la même paire, nous utilisons la substitution t=tg x . Il est souvent difficile d'utiliser l'unité trigonométrique manuellement.
5. ∫ sin(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ sin(mx) sin(nx)dx

Les formules les plus rapides pour convertir la création de fonctions trigonométriques en leur somme :

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• péché α péché β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

Appliquez-le
1. Calculez l'intégrale ∫ cos 4 x · sin 3 xdx.
Remplaçons cos(x)=t. Todi ∫ cos 4 x péché 3 xdx =
2. Calculez l'intégrale.
Remplacement Robly sin x = t, éliminé

3. Trouvez l'intégrale.
Remplaçons tg (x) = t. Remplacement, amovible

Intégration d'expressions sous la forme R(sinx, cosx)

Fesses n°1. Calculez les intégrales :

Décision.
a) Intégration d'expressions sous la forme R(sinx, cosx), où R est une fonction rationnelle sous la forme sin x et cos x sont transformées en intégrales sous forme de fonctions rationnelles à l'aide de la substitution trigonométrique universelle tg(x /2) = t.
Todi mayonnaise

La substitution trigonométrique universelle permet de passer d'une intégrale de la forme ∫ R(sinx, cosx) dx à une intégrale dans fonctions fractionnaires-rationnelles, mais un tel remplacement conduit souvent à des expressions lourdes. Pour les esprits chanteurs, des substitutions simples sont efficaces :

• Si l'égalité R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x) dx se termine, alors la substitution cos x = t devient stable.
• Si l'équation est égale à R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x) dx, alors la substitution sin x = t.
• Si l'équation est égale à R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x) dx, alors la substitution tgx = t ou ctg x = t.

Quelle est la méthode pour trouver l’intégrale ?
La substitution trigonométrique universelle tg(x/2) = t est établie.
Todi Vidpovid :